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Par exemple, supposons que deux sommets du triangle 

 décrivent deux coniques inscrites dans un même quadrilatère 

 circonscrit à (R). En intégrant les équations (29) on voit 

 qu'ici les deux équations (31) sont de la forme 



(32) F(pi)-F(p3) = a F {p,)-F{p,) = ^. 



Donc, le lieu du 3^ sommet du triangle sera défini par 

 l'équation 



(33) F(pi)-F(p2) = a~-3 



qui représente une conique inscrite dans le même quadrila- 

 tère que les trois premières. C'est le théorème de Poncelet 

 sous sa forme la plus complète, et la démonstration que 

 nous en donnons est susceptible de s'étendre à d'autres 

 questions. Par exemple l'équation 



Appi + Bp + Cpi+D=:0 



représente une conique doublement tangente à la conique 

 de base (K) ou si B =: C une droite. Si on prend une 2^ 

 équation de même forme 



A' p p2 + B' p + C p2 -f D' = 



et qu'on élimine p entre les deux équations, on sera con- 

 duit à une relation entre pi p^ ^6 même forme que les deux 

 précédentes, d'où résulte le théorème bien connu suivant : 



Si un triangle est circonscrit à une conique (K) et que 

 deux de ses sommets décrivent des droites ou des coniques 

 doublement tangentes à la proposée, la troisième décrira aussi 

 une droite ou une conique doublement tangente à la première. 



La même remarque conduit aussi à l'interprétation d'une 

 substitution faite sur l'une des variables. Soit V=(p (p pi)=0 

 l'équation d'une courbe V. Si on élimine p^ par l'équation 

 TJ = tj^ (pi P2) = 0, le résultat de l'élimination conviendra à 

 tous les points d'une courbe V qu'on peut déduire de V de 

 la manière suivante. C'est le lieu décrit par le troisième 

 sommet d'un triangle circonscrit à (R) et dont les deux autres 



