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où f et iji sont des fonctions symétriques, et par conséquent 

 s'expriment rationnellement par les coordonnées ordinaires, 

 tandis quep — pi est une racine carrée. En élevant au carré 

 pour rendre l'équation rationnelle, nous aurons 



(42) p(pp,)-(p_p,)2^2(pp^)^0 

 équation de la forme en coordonnées ordinaires 



(43) P2 — K Q2 = 0. 



La courbe qu'elle représente sera donc tangente à la co- 

 nique (K) et elle aura des points doubles à l'intersection des 

 courbes P, Q. 



Par exemple, si l'équation (41) est du second degré en p 

 et en p^i, elle représentera une courbe du 4^ ordre ayant 

 deux points doubles à l'intersection de la conique I* = et 

 de la droite Q =. 0, et cette courbe du 4^ ordre sera tan- 

 gente en quatre points à la conique (K). 



Réciproquement, toute courbe du 4^ ordre à deux points 

 doubles peut être représentée, et d'une infinité de manières, 

 par une équation de la forme (41). Car, si l'on prend une 

 conique quelconque, ne passant par aucun des points doubles, 

 et inscrite dans la courbe, l'équation de la courbe du 4^ or- 

 dre la ramènera à la forme (43) ou (42) ou (41). Ainsi il 

 suffit de prendre pour conique (K) de préférence une des co- 

 niques tangentes à la courbe en quatre points. 



Nous rencontrons ici un fait intéressant dans la théorie 

 des courbes du 4'' ordre â deux points doubles, et ce fait se 

 rattache aux différents modes de génération qu'on a propo- 

 sés pour les étudier. On sait que M. Moutard, les considé- 

 rant au point de vue de la transformation par rayons vec- 

 teurs réciproques, a démontré qu'elles étaient anallagmatiques 

 par rapport à quatre pôles différents. Il résulte des recherches 

 de notre savant confrère qu'étant donnée une telle courbe, il 

 existe quatre points dans le plan jouissant de la propriété 

 suivante : Pour les droites passant par chacun d'eux, l'équa- 

 tion du 4^ ordre qui détermine les quatre points d'intersection 

 de la droite et de la courbe se résout par des extractions de 

 racines carrées. C'est là un fait analytique remarquable en 



