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lui-même. Les recherches précédentes lui donnent une réelle 

 extension, car elles démontrent que la même propriété ap- 

 partient aussi aux droites tangentes à l'une quelconque des 

 coniques inscrites dans la courbe du 4*^ ordre et ne passant 

 pas par les points doubles. C'est lorsque les coniques se ré- 

 duisent à deux droites qu'on obtient le mode de génération 

 de M. Moutard. 



Ainsi étant donnée une droite dans le plan d'une courbe 

 de 4" ordre à deux points doubles, l'équation du 4^ degré 

 qui déterminera les points de rencontre avec la courbe, et 

 celle qui fait connaître les trois coniques inscrites dans la 

 courbe, et tangentes à la droite se résolvent l'une au moyen 

 de l'autre. 



Ajoutons à cette remarque la suivante : Généralement 

 l'équation du 8^ degré qui détermine les points d'intersection 

 de la courbe V4 et d'une conique (G) est indécomposable, 

 mais si la conique (G) est doublement tangente à (K) , l'équa- 

 tion du 8*^ degré se décomposera en deux du ¥. 



Enfin, nous pouvons démontrer le mode de génération 

 pour les courbes du 4'^ ordre à deux points doubles, indiqué 

 à la fin de l'article 13. Car soit 



f i? Pi) = 



l'équation non symétrique en p pi de la courbe du A^ ordre 

 proposée. Nous pouvons toujours supposer qu'on l'ait déduite 

 d'une équation symétrique 



(44) F (p p'O = 

 par une substitution de forme 



(45) A pi p'i + B p, + G p', + D = 0. 



Cela revient, d'après les remarques faites, à démontrer 

 que la courbe est décrite par le troisième sommet libre d'un 

 triangle circonscrit à la conique (K) dont l'un des sommets 

 décrit la. conique quelconque (44), l'autre la conique (45), 

 doublement tangente à la proposée. Ainsi 



La courbe du S" ordre^ décrite par le troisième sommet 



