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existe,-est alors d'éliminer y entre l'équation (1)et la sui- 

 vante 



La proposition que j'ai énoncée à ce sujet est la suivante : 

 En général, il n^y a pas de solution singulière et l'élimination de 

 y' entre les équations (1) et (2) conduit à V équation d'une courbe 

 représentant non pas l'enveloppe des solutions générales, mais le 

 lieu de leurs points de rebroussement. Nous allons mettre ce 

 résultat en lumière et le compléter par les considérations sui- 

 vantes. 



Une équation différentielle ordinaire présente un double 

 caractère sur lequel on n'insiste pas en général quoiqu'il nous 

 paraisse d'une grande importance. On dit souvent qu'une 

 telle équation défini tune courbe par les propriétés de sa tan- 

 gente et, en 68*01, elle fait connaître la direction de la tangente 

 en chaque point de la courbe. Mais il importo aussi de remar- 

 quer que si l'on considère la courbe intégrale non comme lieu de 

 pointSy mais comme enveloppe de droites^ V équation différentielle 



{*) Dans un Iravail présenté récemment à l'Académie de Belgi- 

 que. M. Mansion a critiqué les résultais auxquels je suis arrivé et 

 en particulier ce géomètre croit devoir faire remarquer que la rè- 

 gle précédente n'est pas absolument exacte, qu'il faut remplacer 

 réqualion(2) par les suivantes : 



\ 

 d^xyy') d^ixy-^ 



.=0 



dx 



Mais ces dernières règles ne s'appliquent qu'aux cas tout à fait 

 singuliers où la fonction '9 contient des expressions mal détermi- 

 nées, radicaux, etc.; tout au plus si elles peuvent fouruir la solution 

 y' = (îj(0 que ne donne pas l'équation (2) et qu'on peut toujours 

 écarter par un changement d'axes coordonnés. Les règles que rap- 

 pelle M. Mansion et qui sont données sous des formes à peu près 

 équivalentes dans les cours de calcul intégral ne trouvent donc pas 

 leur application dans la question actuelle et d'ailleurs elles n'in- 

 firmeraient pas nos raisonnements. 



