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définit vue propriété du point de contact. En d'autres termes les 

 courbes intégrales qui sont tangentes à une droite sont en 

 nombre limité et leurs points de contact avec cette droite sont 

 définis par l'équation différentielle. 



Soit en effet : {^) y = ax-\-b 



réquation d'une ligne droite. Si elle doit être tangente à la 

 courbe définie par l'équation différentielle on aura pour le 

 point de contact y' —a qX en substituant cette valeur de «/' 

 dans l'équation (4) on obtiendra 



(4) cp (a? y a) = 



équation en termes finis d'une courbe qui coupe la droite (3) 

 aux points de contact cherchés. 



Il suit de cette proposition que si l'on prend les polaires 

 réciproques de toutes les courbes satisfaisant à Téquation (1) 

 ces polaires réciproques satisfont aussi à une équation diffé- 

 rentielle dn premier ordre. Par suite à toute propriété des 

 courbes intégrales considérées comme lieux de points corres- 

 pondra par le principe de dualité une proposition relative à 

 ces courbes considérées comme enveloppes de droites. Celte 

 symétrie introduite dans la théorie qui nous occupe est d'un 

 grand secours dans une foule de questions et elle va nous 

 permettre en particulier d'éclaircir la question des solutions 

 singulières. 



Cherchons d'abord les droites (3) pour lesquelles deux des 

 points de contact définis par les équations (3) oL [4) viennent 

 se confondre. Pour qu'il en soit ainsi, il faudra que la 

 droite (3) et la courbe (4) soient tangentes c'est-à-dire que 

 l'on ait pour un des points (r, y) d'intersection do la droite et 

 dé la courbe 



9 ipo, y, a) = a —, >- a ~- =0. 



ax ' au 



En remplaçant a par y' nous avons 1: s deux équations 

 (5) 9 (^, Vy ?/') = -^ -f ^-^y = 



