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Eliminons y' entre ces deux équations, nous obtenons un 

 certain lieu défini par l'équation 



(6) (0 {x, y) = 0. 



Pour chaque point de ce lieu la droite ayant pour coeffi- 

 cient angulaire la valeur dey' satisfaisant aux équations (5 

 sera telle que deux des points de contact des courbes inté- 

 grales avec elle seront confondus au point (x y). On peut don- 

 ner une définition simple du lieu représenté par l'équa- 

 tion (6). 



En effet si on différentie la première des équations (5) on 

 trouve, en tenant compte de la seconde, 



-^ n'est pas nul en général pour le point considéré, car il n'y 

 a pas de raison pour que les trois équations 



soient satisfaites par tous les points d'une courbe. Donc on a 



y" = 0. 



Ainsi le lieu représenté par l'équation (6) est en général celui 

 des points d'inflexion des courbes intégrales et les tangentes en ces 

 points sont les seules droites pour lesquelles deux points de contact 

 viennent se réunir en un seul qui est le point d'inflexion. 



Remarquons d'ailleurs que les points considérés sont en 

 général des points ordinaires d'infl,exion pour lesquels y"' 

 n'est pas nul. 



Cela posé, si nous transformons par la méthode des polaires 

 réciproques la proposition précédente^ nous obtenons le théo- 

 rème suivant: 



