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Les points pour lesquels deux valeurs de ■—■ deviennent égales 



dx 



sont en général des points doubles de rebroussement de première 

 espèce pour les courbes intégrales et les deux valeurs égales de 

 dy , 



— définissent la tangente à la courbe intégrale au point de 



rebroussement. 



Ainsi se trouve justifiée sans l'emploi des séries la con- 

 clusion à laquelle nous étions arrivé dans nos premières étu- 

 des. Et maintenarit dans quel cas se présente la solution sin- 

 gulière si elle existe? Il faut que les 3 équations (8) soient 

 vérifiées pour tous les points d'une courbe ce qui conduit à 

 la proposition suivante : 



Pour qu'une équation différentielle admette une ou plusieurs 

 solutions singulières il faut que les deux lieux suivants 1° le lieu 

 des points pour lesquels deux valeurs de y' deviennent égales, 

 2° le heu qui dans le cas général contient tous les points d'in- 

 flexion des courbes intégrales, il faut que ces deux lieux coïnci- 

 dent ou aient des courbes partielles communes. Si ces deux lieux 

 ne coïncident pas dans toutes leurs parties, les deux portions non 

 communes seront l'une le lieu des points de rebroussement (géné- 

 ralement de première espèce) des courbes intégrales, l'autre le lieu 

 des points d'inflexion (généralement points ordinaires d'inflexion) 

 des courbes intégrales. 



On voit qu'il existe encore bien des points à examiner. Cer- 

 taines intégrales particulières en nombre limité se distingue- 

 ront des autres soit par un point de rebroussement soit par 

 un point d'inflexion d'espèce plus compliquée. D'autres en 

 nombre limité pourront n'avoir ni point d'inflexion ni point 

 de rebroussement. Mais ce sera l'objetd'un travail plus étendu 

 que ce simple résumé. 



En terminant nous devons nous demander quelle a été l'ori- 

 gine de l'erreur qui a duré si longtemps dans la théorie des 

 solutions singulières. Cette erreur tient à une confusion que 

 presque tous les géomètres ont laissé s'établir dans toute cette 

 question. 



Comme on forme les équations différentielles par l'élimi- 

 nation de constantes entre une équation finie et ses dérivées, 

 les auteurs ont supposé, à tort selon nous, qu'étant donnée 



