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par exemple une équation différentielle du premier ordre 

 cette équation admet toujoursune intégrale du premier ordre 

 définie par la formule 



où /"est une fonction qui dans toute l'étendue du plan pos- 

 sède les propriétés qu'on reconnaît généralement aux fonc- 

 tions étudiées dans l'analyse. Cette fonction /"était pour eux 

 plus ou moins difficile à trouver, mais dans leur esprit elle 

 existait toujours. Or c'est là précisément le point contestable 

 et les recherches nouvelles sur la théorie des fonctions nous 

 paraissent devoir changer cette manière de voir (*). 



11 est bien clair que si une équation différentielle est inté- 

 grable par une équation de la forme (9) il y a en général 

 une solution singulière qui est l'enveloppe de toutes les 

 courbes représentées par l'équation (9). Ainsi, si l'équation 

 différentielle est intégrable dans le sens qu'on donne à ce mot 

 en analyse, c'est-à-dire en égalant à zéro une fonction / finie 

 et continue dex, y, c, la solution singulière est le cas général, 

 et alors sa recherche dépend à proprement parler delà théo- 

 rie des enveloppes. 



Mais comme rien ne démontre qu'une équation différen- 

 tielle admette en général une intégrale de la forme (9), on 

 voit qu'on devra séparer cette théorie en deux parties bien 

 distinctes : 



L'une du ressort du calcul différentiel et dans laquelle on 

 examine les équations différentielles formées par l'élimina- 

 tion de constantes. 



L'autre appartenant au calcul intégral et où, ne supposant 

 rien sur l'origine de l'équation différentielle, on est obligé 

 de se tenir dans les hypothèses générales, et de ne pas sup- 



(*) Les seules recherches rigoureuses sur l'existence des inté- 

 grales, celles de Cauchy et de MU. Brlol et Bouquet établissent 

 bien qu'il y a une infinité d'intégrales générales, mais on remar- 

 quera qu'elles ne démontrent pas que cette intégrale satisfasse à 

 une équation de la forme (9) où f possède les propriétés néces- 

 saires pour qu'on ait le droit d'appliquer les principes de la théo- 

 rie des enveloppes. 



