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Séance du 12 avril 1873. 



Sur les lignes asymptotlques de la surface de Steiner^ 

 par M. J, Darboux, 



La surface de Steiner ou surface romaine a attiré dans ces 

 deroiers temps à un haut degré l'attention des géomètres. 

 Son étude se rattaclie aux notions nouvelles introduites dans 

 lasciencepar M. Clebsch et M. Gremona sur la représentation 

 des surfaces. On sait que les sections planes de cette surface 

 sont représentées par toutes les sections coniques qui divisent 

 harmoniquement les trois diagonales d'un quadrilatère 

 complet. J'ignore si la méthode suivante qui conduit à la dé- 

 termination des lignes asymptotiques a déjà été donnée. En 

 tous cas, comme elle est très simple je me permets de la 

 présenter ici. 



Les sections planes de la surface étant représentées par les 

 coniques que nous venons de définir, les scellons par les 

 plans tangents auront pour image, dansle plan, des coniques 

 à point double, c'est-à-dire composées de deux droites et. ces 

 deux droites diviseront harmoniquement les trois diagonales 

 du quadrilatère complet dont il a été question plus haut. Si 

 donc on veut avoir en un point M du plan les tangentes 

 aux courbes qui passent en ce point et représentent les lignes 

 asymptotiques, il faudra mener par ce point les deux droites 

 qui divisent en rapport harmonique les trois diagonales du 

 quadrilatère. Or on sait que ces droites sont tangentes en M 

 aux deux coniques qui passent en ce point et sont inscrites 

 dans le quadrilatère. Donc 



Les lignes asymptotiques de la surface de Steiner sont 

 représentées parles coniques inscrites dans le quadrilatère 

 fondamental. 



J'appelle quadrilatère fondamental celui dont les trois 

 diagonales sont coupées harmoniquement par les coniques qui 

 représentent les sections planes delà surface de Steiner. 

 C'est M. Clebsch qui a déterminé le premier les lignes asymp- 

 totiques de celte surface. 



