— 33 — 



loppe de sphères, deux sont planes^ toutes les autres le sont 

 aussi; tous ces plans passent par une même droite ; si l'on 

 rabat les lignes de courbure autour de celle droite sur un 

 même plan, on peut les considérer comme les trajectoires or- 

 thogonales d'une série de cercles. 



Si (C) est une courbe plane, elle admet deux lignes de 

 courbure situées dans ce plan. Les surfaces gauches passant 

 par l.'vne de ces lignes et tau les les lignes de courbure non 

 circulaires de l'enveloppe rencontrent le cylindre, dont le lieu 

 des centres des cercles de courbure est la base, suivant des 

 courbes dont les ordonnées au-dessus du plan de (C) sont entre 

 elles dans un rapport constant. 



La longueur d'un arc de géodésique tracée sur une surface 

 de révolution est proportionnelle à l'aire comprise entité la 

 projection de cet arc, sur un plan perpendiculaire à l'axe de 

 révolution, et les rayons issus du pied de l'axe aboutissant 

 aux projections des extrémités de l'arc. 



III. — De tous les points d'une surface (S) on décrit des 

 sphères dont les rayons sont liés aux coordonnées des cen- 

 tres par une relation permettant d'en connaître le rayon 

 lorsque la position du centre est fixée sur la surface donnée. 

 Ces sphères ont une enveloppe qui se compose de deux 

 nappes. 



A une ligne tracée sur (S) correspondent deux lignes 

 tracées sur les deux nappes de l'enveloppe. 



Par chaque point de (S) passent deux lignes telles que les 

 courbes correspondantes tracées sur les deux nappes sont 

 égales . 



Si l'on joint deux à deux les qua'tre centres de courbure 

 principaux situés sur les normales aux deux nappes issues 

 d'un point de (S) on a quatre droites qui donnent lieu à 

 deux points d'intersection. 



Quelle que soit la déformation de la surface des centres 

 aux environs du point considéré, cette droite qui joint ces 

 deux derniers points d'intersection rencontre le plan tangent 

 en un point fixe. 



Si l'on trace un contour fermé quelconque sur la surface 

 des centres (S), on a deux contours analogues sur les deux 

 nappes de l'enveloppe. 



i'^ Quelle que soit la déformation de (S), la somme des vo- 



Exlrait de l'Institut, V section, 1868. 3 



