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sommets consécutifs d'un tel quadrilatère, les divers points m 

 de l'anallagmatique satisferont à une relation de la forme 



m^.m^ 



= constante. 



J'ai signalé cette propriété dans une note insérée au Bulletin 

 de la Société philomathique (mars 1867). 



Les courbes qui jouissent de cette propriété constituent dans 

 l'ensemble des anallagmatiques un groupe remarquable et 

 jouissant de propriétés spéciales dignes d'intérêt. Je les dési- 

 gnerai sous le nom decassiriiennes, par analogie avec l'ellipse 

 de Cassini qui peut être regardée comme leur type principal. 



2. Je vais donner ici une autre définition de ces courjjos, 

 qui, quoique moins simple peut-être en apparence que la 

 précédente, se prête bien mieux, aux recherches géométriques. 



Soit, en général, tracée sur une sphère une anallagma- 

 tique; par cette courbe passent quatre cônes dont les som- 

 mets forment un tétraèdre conjugué par rapport à la sphère. 

 Prenons une quelconque des arêtes de ce tétraèdre et l'arête 

 opposée qui est sa polaire par rapport à la sphère. Il sera 

 facile d'établir les propositions suivantes. Toute droite qui 

 passe par un point a de l'anallagmatique et qui s'appuie sur 

 les doux arêtes du tétraèdre considérées, coupe la sphère en 

 un second point b qui appartient aussi à l'anallagmatique. Je 

 dirai que les deux points a et h sont conjugués, et, pour 

 simplifier le langage, j'appellerai simplement corde la droite 

 qui joint deux points conjugués. Si l'on désigne par P et 

 les points où l'une des arêtes considérées coupe la sphère, il 

 résulte de ce qui précède que deux points conjugués quel- 

 conques et les points P et Q sont toujours situés sur un même 

 cercle et partagent ce cercle enharmoniquement. Par suite, 

 si l'on appelle I le point milieu du segment PQ, il en résulte 

 que le produit des distances du point I à deux points conju- 

 gués quelconques est constant et que les droites qui joignent 

 ce point milieu aux deux points conjugués sont dans le même 

 plan que la droite PQ et également inclinées sur cette 

 droite (*). 



(*) Le point I est donc pour l'anallagmatique un des points que 



