— 44 — 



contact seront les points conjugués formant les extrémités 

 de la première corde considérée. 



Deux cordes liées entre elles de la façon que je viens 

 d'indiquer seront dites cordes associées. 



Leur propriété principale est renfermée dans la proposition 

 suivante : 



Toute droite qui touche la sphère sur laquelle est tracée 

 une cassinienne en un point de cette courbe et rencontre une 

 de ses cordes, rencontre aussi la corrle qui lui est associée. 



9. Cette propriété donne lieu au théorème suivant; 



Si une droite se déplace en s' appuyant sur deux droites 

 fixes et en restant tangente à une sphère, la courbe suivant 

 laquelle la surface ainsi engendrée touche la sphère est une 

 cassinienne dont les deux droites fi.xes sont deux cordes; 

 et, d'après la proposition précédente, la cassinienne ainsi 

 obtenue peut être engendrée dune infinité de façons au moyen 

 de deux cordes associées quelconques de la courbe. 



10. Une cassinienne est complètement définie lorsqu'on 

 connaît les deux points P et Q, qui sont conjugués harmoniques 

 par rapport à tous les couples de points conjugués, et le 

 cercle A correspondant à un point R de la sphère. 



Soit M un point quelconque de la sphère et N son réci- 

 proque par rapport au cercle A, je veux dire le point où 

 la sphère est percée par la droite qui joint le point M au 

 pôle du plan du cercle. Il est facile de déterminer sur la 

 sphère deux points a et y> qui soient en rapport anharmo- 

 nique avec les points M et R, ainsi qu'avec les points P et 

 Q. On peut, si l'on veut, considérer les droites P Q et M R 

 ainsi que leurs polaires; il y aura deux droites qui les ren- 

 contreront toutes les quatre, et ces droites seront elles-mêmes 

 polaires réciproques. Par suite, il y en aura une et une 

 seule qui coupera la sphère en des points réels; ces deux 

 points seront les deux points a et y cherchés. On détermi- 

 nerait de même deux points ^ et § qui soient conjugués 

 harmoniques par rapport aux couples de points N,R et P, Q. 



Cela posé, un point quelconque m de la cassinienne 

 considérée satisfera à la relation suivante : 



ma. m-{ 



— ;; = Constante. 



wp. ma 



