— 4S — 



On voit que les points a et y sont deux points conjugués 

 de la sphère, en prenant ce mot dans le sens où je l'ai em- 

 ployé au § 3, c'est-à-dire que la droite a y rencontre la 

 droite fixe P Q ainsi que sa polaire ; il en est de même des 

 points P et §. De plus il est évident que l'un des quatre 

 points peut être pris arbitrairement. On peut donc énoncer 

 la proposition suivante : 



Etant donnée une cassinienne et étant pris arbitraire- 

 ment sur la sphère sur laquelle elle est tracée un couple 

 quelconque de points conjugués, il est toujours possible de 

 trouver un autre couple de points -conjugués, de telle sorte 

 que le produit des distances d' un point de la courbe aux points 

 du premier couple soit dans un rapport constant avec le 

 produit des distances du même point aux points du second 

 couple. 



11. En particulier, il y existe toujours sur une sphère 

 un couple de points conjugués qui sont diamétralement op- 

 posés. Pour les obtenir il suffit de mener par le centre de 

 la sphère une droite s'appuyant sur la droite P Q et sur sa 

 polaire. Désignons par a et a ce couple de points ; on 

 pourra déterminer d'après le théorème précédent deux autres 

 points c et d, tels que pour tout point de la courbe l'on ait 

 la relation : 



ma. ma' ^ 



= Constante. 



vie. ma 



ou encore : 



. A . A, 



sm 4- ma. sm -- ma . r^ . , 



• = Constante ; 



me. ma 



A, A , , . 



et, comme sm i ma = cos ^ ma, la relation précédente 



pourra s'écrire de la façon suivante : 



A 



sin ma ^ 



, = Constante. 



me. ma 



D'où la proposition suivante : 



