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L'intersection de la surface A et de la sphère S est d'ailleurs 

 une des focales de la surface. A chaque point de l'anallag- 

 matique est associé un plan qui touche la surface A en un 

 certain point correspondant au premier; à toute courbe tra- 

 cée sur l'anallagmatique correspondra une certaine courbe 

 formée par les points de contact avec la surface A des divers 

 plans associés aux points de la courbe tracée sur l'anallag- 

 matique. 



Des deux lemmes que j'ai donnés ci-dessus, on déduit 

 immédiatement les deux propositions suivantes:. 



La normale en un point M dune anallagmatique est la 

 droite qui joint ce point au point correspondant sur la sur- 

 face A. 



Etant donnés une courbe C tracée sur l anallagmatique et 

 un point M de cette courbe, si Ton désigne par c la courbe 

 correspondante tracéesur la surface du second degré A et par 

 m le point de cette courbe cpii correspond au- point M, le 

 flan normal en 31 à la courbe C est le plan qui passe par 

 ce point et par la tangente conjuguée de la tangente menée 

 en m à la courbe c. 



3. Pour faire une application de ces propositions très-sim- 

 ples je démontrerai brièvement le beau théorème donné par 

 M. Moutard sur l'orthogonalité des surfaces anallagmatiques 

 homofocales. 



Les surfaces d'un système homofocal peuvent être engen- 

 drées au moyen d'une sphère fixe S et des diverses surlàces 

 du second ordre passant par une anallagmatique sphérique 

 K située sur cette sphère. 



Cherchons les surfaces d'un tel système qui passent par 

 un point de l'espace M. Pour cela, menons par ce point un 

 cône isotrope, il coupera la sphère suivant un cercle C, dont 

 le plan P sera le plan associé au point M. Le problème est 

 évidemment ramené à mener par la courbe K une surface 

 du second degré tangente au plan P. Or ce plan devant être 

 tangent à la surface cherchée, doit la couper suivant deux 

 droites renfermant nécessairement les quatre points d'inter- 

 section de la courbe K avec le cercle C. On aura donc trois 

 solutions, et les trois points de contact correspondant à ces 

 trois solutions seront les trois points de concours des diagonales 

 du quadrilatère formé par les quatre points d'intersection dont 



Extrait de ï Institut, 1" section, •i8G8- 4 



