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Le paragraphe 4 est intitulé : Sur le déplacement d'une 

 surface assujettie à des conditions, multiples. 



La surface mobile est d'abord, assujettie à avoir cinq de 

 ses points sur cinq sui'taces données. 



Je suppose ensuite que les surfaces données viennent suc- 

 cessivement se confondre ainsi que les points donnés qui 

 appartiennent à la surface mobile. Je rencontre ainsi des 

 conditions de déplacement dont l'examen direct présenterait 

 quelques difficultés. La solution générale est toujours appli- 

 cable dans ces cas particuliers. 



En voici un : 



Une surface mobile est assujettie à se déplacer de façon que 

 deux courbes, J et J^, quelle contient soient constamment 

 osculatrices en levr point de rencontre aune surface fixe don- 

 née : construire deux couples de droites conjuguées. 



La connaissance de deux couples de droites conjuguées 

 suffit pour la solution des questions qu'on peut se proposer 

 relativement aux normales, aux lignes ou surfaces décrites. 

 C'est ainsi qu'à l'aide de ces deux droites, on pourra déter- 

 miner la tangente en un point de la ligne décrite sur la 

 surface fixe par le point de rencontre des courbes J et J^. 



Comme cas particulier de ce problème, on a le suivant : 



Un angle de grandeur constante se déplace de façon que ses 

 côtés soient osculateurs, en leur point de rencontre, à une 

 surface fixe; construii^e la tangente en un point de la ligne 

 décrite par le sommet de cet angle. 



J'ai été conduit à dire un mot des lignes tracées sur les 

 surfaces et qui jouissent de la propriété quen chacun de leurs 

 points on peut mener une droite surosculant la surface. La 

 solution générale montre que, pour l'étude de ces lignes, il 

 est nécessaire de connaître les lignes analogues que l'on peut 

 tracer sur une surface réglée. 



Dans ce paragraphe, j'ai eu l'occasion de retrouver un 

 théorème de Sturm sur les normales infiniment voisines au- 

 tour d'un point sur une surface. 



Ce théorème que j'énonce ainsi : Les normalies à la sur- 

 face (A) qui contiennent une normale A sont tangentes entre 

 elles aux centres de courbure principaux de (A) situés sur A; 

 les plans tangents communs en ces points sont les plans des 

 sections principales de {A) menées par la normale A, n'est 



