— 30 — 



Sur les courbes enveloppes de cercles, et sur les surfaces 

 enveloppes de sphères, par M. Ribaucour. 



I. — Si de chacun des points d'une spirale logarithmique, 

 comme centre, on décrit un cercle orthogonal à un cercle fixe, 

 ayant son centre au pôle de la spirale, la somme de deux 

 arcs correspondants de l'enveloppe est évaluable en arc d'hy- 

 perbole. 



Si de tous les points d'une épicycloïde, comme centres, on 

 décrit des cercles orthogonaux à un cercle fixe, concentrique 

 à la base de V épicycloïde, la somme de deux arcs correspon- 

 dants de V enveloppe est évaluable en arc d'ellipse. 



Une courbe (C) roule sur une droite (D) en entraînant un 

 point qui décrit une trajectoire (0); de tous les points de 

 (0) comme centres on décrit des cercles tangents à la 

 droite (D) : 



La somme des arcs correspondants de l'enveloppe de cette 

 série de cercles est double de la longueur correspondante de 

 la seconde podaire positive de (C) par rapport au point o. 



Si de tous les points d'un arc (C), comme centres, on dé- 

 crit des cercles orthogonaux à un cercle fixe de centre o , 

 l'enveloppe de cette série de cercles est ce que M. Moutard 

 a appelé une courbe anallagmatique. 



Je désignerai par aii^e de cette anallagmatique la différence 

 des aires comprises entre chacune des l3ranches de l'enve- 

 loppe la ligne (G) et les normales extrêmes. 



Lorsque le point o se déplace dans le plan, en entraînant 

 avec lui le cercle orthogonal à toute la série, l'anallagma- 

 tique se déforme et son aire varie. 



Il y a un point dans le plan pour lequel l'aire de l' anallag- 

 matique est un minimum.; ce point est le centre de gravité 

 de l'arc (G) supposé chargé en chacun de ses éléments d'une 

 masse proportionnelle à la courbure. 



Si le point o se déplace sur un cercle ayant pour centre ce 

 point particulier, l'aire de V anallagmatique reste constante. 



Considérons toutes les séries de cercles ayant même ligne 

 de centres, les rayons de l'une d'elles se déduisant de ceux 

 d'une autre par la relation : 



