par M. Gilbert ( i^—^r- — . — r~ 1 ^^ ^'^^ retrouve le théo- 



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rème dû à ce savant géomètre, théorème analogue à celui 

 de Gauss et aussi celui qui est analogue à celui de M. Bonnet. 

 3" Lorsque C^ (f) = Log. sin cp, si l'on représente par u et 

 V les angles de deux trièdres qui existent dans cette ques- 

 tion, l'équation j7j devient: 



// 



d gi d g2 ( cos Ui __ cos Vj ) _ sin a sin y 



sin2 (p \ Ri Ri Li L^ ii~' ^^' sin ^ sin â 



/ 



+ I cotg cp — 



4° Lorsque (]^ (f) = Log. tang iç, u^, v^ étant les angles 

 de deux nouveaux trièdres qui existent dans la question, la 

 même équation j7j donne: 



C r d <Ji d (Jo ( cos M, cos v^) , IX I 



+ J J -rhrT^ 1 -^-^ - 1—r 1 = ^ag. {tg i a. 



sin^ ç ( fil. Ri Li Li 



tgl ^. tgi Y- tgi §} + I sin-iç 



"r7 



et l'on voit que ces deux dernières formes de C^ nous sont 

 imposées par les équations (31). 



Il est inutile de dire que l'équation j8| donne naissance 

 à des formules du même ordre au nombre de huit. 



Quelle que soit la forme de <^, l'élément ne dépend 



H (v) 



jamais que des paramètres différentiels du premier ordre et 

 de leurs variations, et de l'angle des lignes coordonnées. 

 Cet élément reste inaltérable dans la déformation des surfaces 

 applicables. 



Si, maintenant, on élimine des équations du n° I les va- 

 riations des projections tangentielles des angles de contin- 

 gence propre et inclinée des lignes coordonnées au moyen 

 des formules du n° Y III de notre premier mémoire sur les 



