On peut les simplifier à l'aide de la relation connue 

 Yi= — Y2 ; et lors(iue l'on prend pour lignes coordonnées les 

 ligues de courbure, on retrouve des formules données par 

 M, Picart dans sa thèse sur les surfaces (p. 27). On en déduit 

 encore d'autres résultats intéressants, par exemple en pre- 

 nant des lignes géodésiques et leurs trajectoires orthogo- 

 nales, etc. 



Enfin, on connaît la condition très-simple que M. Bonnet 

 a donnée pour que deux séries de lignes décomposent une 

 surlace en carrés : j'ai obtenu, plus simplement encore, une 

 formule générale qui se réduit, lorsque l'angle 6 est constant, 

 à celle-ci : 



dsi \gj ds.2 \gj lds.2 \ gj dSi \ 



qui exprime la condition pour que la surface soit décomposée 

 en losanges. 



Mais je répète en tinissant que, indépendamment des for- 

 mules nouvelles auxquelles je puis être parvenu, mes recher- 

 ches ont eu surtout peur but, et, j'espère, pour résultat, de 

 reconstruire par une méthode nouvelle et géométrique à la 

 fois plus générale et beaucoup plus simple, tout ce que Gauss 

 et les géomètres qui l'ont suivi nous ont appris de plus inté- 

 ressant sur celte belle théorie des lignes décrites sur une 

 surface. Pour cela, j'ai tiré un grand parti de l'élément nou- 

 veau que M. Aoust avait appelé courbure inclinée, et j'espère 

 qu'il reconnaîtra que, sous ce rapport, j'ai été utile aux idées 

 qu'il a introduites dans la géométrie. 



Pour ce qui est de la préférence à accorder à telle déno- 

 mination sur telle autre, à telle démonstration sur telle autre 

 sous le rapport de la clarté, c'est une question sur laquelle 

 il convient d'attendre la décision des géomètres. 



