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lorsque les courbes coordonnées sont quelconques. Il est à 

 peine nécessaire de faire remarquer qu'en énonçant le théo- 

 rème : « Lorsque deux systèmes de courbes quelconques se 

 coupent sur une surface, l'expression ci-dessus ne varie pas 

 lorsqu'on déforme la surface, » j'ai indiqué suffisamment 

 que j'avais obtenu la valeur de cette grandeur en fonction 

 des angles et des arcs tracés sur la surface, dans le cas géné- 

 ral. La formule (1)' de M. l'abbé Aoust est en effet dans mon 

 mémoire : si je ne l'ai pas écrite dans l'extrait présenté à la 

 Société, c'est que son principal intérêt réside dans le théo- 

 rème énoncé, et je n'ai cité les deux cas particuliers qui 

 s'en déduisent que comme donnant lieu à un énoncé assez 

 net et assez élégant. 



Mais je dois faire ici la même remarque que ci-dessus : 

 considérée comme une transformation des formules sur la 

 mesure de courbure, ainsi que le fait M. Aoust, cette for- 

 mule (1)' ne m'offrait qu'un intérêt secondaire. Ce qui lui 

 donnait à mes yeux une valeur réelle, c'est que, en ayant 

 obtenu une démonstration directe, aussi simple que possible, 

 j'en déduisais immédiatement le théorème de Gauss sur l'in- 

 variabilité du produit K R", ainsi que je l'ai dit dans ma 

 précédente note, et de plus, comme je l'ai montré dans mon 

 mémoire, une méthode nouvelle , très-simple et indépen- 

 dante, pour arriver au théorème général de M. Bonnet sur 

 la courbure totale. 



En effet, j'obtiens directement, par une simple différentia- 

 tion, la relation générale : 



-cas (pi, p^) cns (âi , §2)1 , [cos (pi, T2) 



]ds,ds, = d,\^^^^d.,] 



pi P2 Oj Û2 J L Pi 



,.[£^iipi^,,j 



qui équivaut aux formules (6)' de M. l'abbé Aoust, et qui, par 

 l'équation (a) et l'expression de la courbure géodésique, de- 

 vient ma formule générale identique à la formule (1)' du 

 savant géomèlre. En décomposant ensuite une portion de 

 surface en éléments infiniment petits par des lignes de cour- 

 bure et appliquant l'équation à ces éléments, j'.en tire le 

 théorème de M. Bonnet sur la courbure totale. 



