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Théorème VIII. « Le lieu des extrémités des droites me- 

 » nées par un même point parallèles et égales aux portions 

 » des normales à une ellipse comprises entre cette couche et 

 » l'un de ses deux axes est une ellipse. » 



Théorème IX. « Le lieu des extrémités des droites menées 

 » par un même point parallèles et égales aux portions des 

 » normales à une ellipse comprises entre ses deux axes est 

 » une ellipse. 



» Les axes de la nouvelle ellipse sont inversement pro- 

 » portionnels à ceux de la première. » 



Remarque. — Il est facile de voir que les théorèmes précé- 

 dents sont également vrais pour l'hyperbole. Le premier 

 s'applique aussi à la parabole considérée comme ellipse 

 limite. 



III 



13. Les propriétés des épicycloïdes qui me restent à passer 

 en revue sont comprises comme les précédentes dans un 

 même théorème fondamental. Ce théorème peut lui-même se 

 déduire du théorème I ; mais il est plus simple de le dé- 

 montrer directement en s' appuyant sur le lemme suivant : 



Lemme. a Deux points décrivant dans un plan deux cir- 

 » conférences, avec des vi tesses angulaires constamment égales, 

 » tout point qui divise dans un rapport constant la droite 

 » joignant les deux premiers points décrit une circonférence 

 » avec la même vitesse angulaire. 



» Les centres de ces circonférences sont situés sur une 

 » même ligne droite qui est divisée par ces points dans le 

 » rapport précité. î 



Ce théorème a été donné par M. Grouard dans une Étude 

 sur les figures semblables (Bulletin de la société Philomathique, 

 t. II, p. 105). 



Si les deux premières circonférences se déplacent parallè- 

 lement à elles-mêmes et indépendamment l'une de l'autre, la 

 troisième circonférence se déplace aussi parallèlement à elle- 

 même sans changer de grandeur : 



14, En tenant compte de cette remarque, on démontre fa- 

 cilement le théorème suivant : 



