Théorème XXIII. « Deux points décrivant dans un même 

 '■) plan deux cercles avec des vitesses angulaires constamment 

 » proportionnelles, tout point qui divise dans un rapport 

 » constant la droite joignant à chaque instant les deux pre- 

 » miers points décrit une épicycloïde. » 



Soient G et C les centres des deux circonférences, A et A' 

 les points qui les parcourent pris dans des positions corres- 

 pondantes. Le point 0, qui divise CC dans le rapport donné, 

 est le centre du cercle fixe de l' épicycloïde, la parallèle OF à 

 C'A', comprise entre le point et la droite CA', est le rayon 

 de la circonférence fixe; la parallèle FM à CA, comprise 

 entre le point F et la droite AA', est le rayon de la circon- 

 férence mobile. De là, on déduit facilement les circonférences 

 qui;, en roulant l'une sur l'autre, engendrent l'épicycloïde. 



La construction que nous avons indiquée pouvant se faire 

 de deux manières, on voit que l'épicycloïde pourra s'engen- 

 drer de deux manières différentes par le roulement d'une 

 circonférence sur une autre. 



On est ainsi conduit à la double génération des épicy- 

 cloïdes quelconques; que j'indiquerai après avoir énoncé le 

 théorème suivant, qui y conduit également : 



30. Théorème XXIV. « Deux points décrivant dans un 

 » même plan deux circonférences avec des vitesses constam- 

 » ment proportionnelles, la résultante des deux droites me- 

 » nées à chaque instant parallèles et égales aux rayons de 

 » ces deux circonférences est le rayon vecteur d'une épicy- 

 » cloïde. » 



Ce théorème résulte immédiatement de la définition des 

 épicycloïdes, que j'ai rappelée au commencement de cette 

 note. 



31. Soient et F les centres de deux circonférences dont 

 l'une roule sur l'autre, et M un point lié à la circonférence 

 mobile et engendrant pendant son mouvement une épicy- 

 cloïde quelconque (ordinaire, allongée ou raccourcie). 



Cette épicycloïde peut être engendrée au moyen de deux 

 autres circonférences faciles à déterminer. Pour cela, on joint 

 le point M au point B de contact des deux premières circon- 

 férences ; le point d'intersection B' de cette droite et de la 

 parallèle à FM menée par le point est le point de contact 

 des deux nouvelles circonférences. Le point d'intersection F' 



