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de OB' et de la parallèle à OF menée par le point M est le 

 centre de la circonférence mobile. D'aillem^s le nouveau 

 cercle directeur a le même centre que l'ancien. Au moyen 

 de ces éléments, on peut facilement construire les deux nou- 

 velles circonférences génératrices, en remarquant que la nou- 

 velle circonférence mobile doit être en dedans ou en dehors 

 de la circonférence sur laquelle elle roule, suivant que l'an- 

 cienne circonférence mobile était elle-même en dedans ou en 

 dehors de la circonférence fixe correspondante. Dans le pre- 

 mier cas, les deux circonférences mobiles rouleront sur leurs 

 circonférences lixes en sens contraire; dans le second cas, 

 elles rouleront dans le même sens. 



La double génération des épicycloïdes ordinaires est con- 

 nue depuis longtemps; c'est Euler, je crois, qui l'a fait con- 

 naître le premier; mais on ne connaissait pas encore la 

 double génération des épicycloïdes allongées et raccourcies, 

 si ce n'est dans deux cas particuliers : dans le cas de l'el- 

 lipse et dans le cas du limaçon de Pascal. Le deuxième mode 

 de génération du limaçon de Pascal se trouve indiqué dans 

 un théorème énoncé par M. Mannheim dans le tome XVII 

 de la première série des Nouvelles annales. Ainsi que nous 

 venons de le faire voir, on a d'une manière générale le théo- 

 rème suivant ; 



Théorème XXV. « Toute épicycloïde (ordinaire, allongée 

 » ou raccourcie) peut être engendrée de deux manières diflé- 

 9 rentes par une circonférence mobile roulant sur une circon- 

 » férence fixe. » 



R et R' désignant les rayons des circonférences fixe et mo- 

 bile correspondant à un premier mode de génération, a la 

 distance du pohit décrivant au centre du cercle mobile ; 

 Rj, R/, ai, désignant les éléments correspondants dans le 

 second cas, on a: 



«1 = R ±: R' 



R -a^ 

 R' 



^, R± R' 



* =" R^ — 



les signes (-}-) correspondant au cas de l'épicycloïde propre- 

 ment dite, les signes ( — ) au cas de l'hypocycloïde. 



