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donné plusieurs expressions remarquables de cet élément; le 

 but de la présente note est de donner l'expression du même 

 élément en fonction des variations des arcs et de l'angle des 

 lignes coordonnées. 



I. Nous conservons toutes les notations et hypothèses adop- 

 tées dans les deux notes insérées dans le journal l' Institut, 

 numéros du 2 janvier et du "26 février 1868. Nous appelons 



1 i 



— la courbure de la surface, — une expression qui se com- 



Kn - Kt 



pose par rapport aux composantes tangentielles des courbures 



1 



propres . ou inclinées des lignes coordonnées comme — se 



compose par rapport aux composantes normales de ces 

 mêmes courbures ; W (9) est une fonction arbitraire de l'an- 

 gle ç des lignes coordonnées, W sa dérivée première, W" sa 

 dérivée seconde. Nous définissons l'élément qui nous occupe 

 par l'équation 



l ij;' -qr" 



(") Hciô = îî; + '"' ï k; ' ■ 



on a, d'après les équations (18)" et ('19)' de notre théorie 

 des coordonnées curvilignes quelconques, les équations sui- 

 vantes : 



(10) -Tj- = (?i (cos ? . cko) — (U_ cki, y— = ck cht — œs 9 di ch-i .j 



Or, si l'on porte ces deux valeurs dans les formules (6) 

 de la note du 26 février, en remarquant que chacune des 

 deux équations précédentes est double par suite de la per- 

 mutation des arcs coordonnés, on obtient l'équation suivante, 

 qui est aussi double 



rfw , ( W (9) cos 9 ^2 f/c, — (/, ihi \ (W (o 



H(W) ( sinç f/c?! ) '( sin ? 



d[ (cos ç dQ^ — dj (Zci 

 d<Si 



