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incidents et la courbe (A') poar Fanticaustique des rayons 

 réfléchis, la développable (D) sera la dirimante et les surfaces 

 polaires de (A) et de (A') seront les caustiques des rayons 

 incidents et des rayons réfléchis. 



On reconnaît aisément qu'étant données deux courbes (A) 

 et (A'), pour que le lieu (D) des points également distants 

 de ces courbes soit une développable, il faut que les géné- 

 ratrices de la surface développable déterminée par les lignes 

 (A) et (A') soient rencontrées par ces courbes sous des angles 

 supplémentaires. 



Lorsque la courbe (P) lieu du point P est donnée [on 

 pourrait l'appeler podaire de la développable (D) par rap- 

 port à la courbe (E)], on a pour déterminer les réciproques 

 (A) et (A') les relations (2) et la suivante : 



/' 



(3) rr' = 2 / qds 4. c =1^2 



ds est l'élément de l'arc de l'arête (E). — (Ànnali di mate- 

 matica. T. JI, 1868). 



Traçons autour du point comme centre une sphère de 

 rayon u (sphère variable d^nversion) ; les points M et M' des 

 réciproques (A) et (A') seront déterminés par l'intersection 

 de la génératrice OMM' avec une sphère qui coupe orthogo- 

 nalement la sphère d'inversion et dont le centre est situé en 

 un point quelconque de la génératrice correspondante de la 

 développable (D). 



Considérons maintenant le cas intéressant où l'arête (E) 

 est un point; nous le traiterons dans toute la généralité. 



On a rr'=a^ = const. (4) 



(A) et (A') sont deux surfaces (ou lignes) réciproques par 

 rapport à un point ; 



(D) est la surface lieu des points également distants de (A) 

 et (A'); ■ 



(P) est la podaire de (D) par rapport au point 0. 



Les surfaces (A) et (A') sont les enveloppes d'une sphère 

 qui coupe orthogonalement la sphère d'inversion et dont le 

 centre se déplace sur la surface (D). 



