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Entre les rayons vecteurs r et r' on a la relation 



(5) r2 — 2gr-f a2 = 0. 



Il s'ensuit que (5) est l'équation d'une surface (ou ligne) 

 qui est sa propre réciproque par rapport au pôle considéré. 



D'une manière analogue on pourrait déterminer une courbe 

 semblable à elle-même, etc. 



Comme les normales aux points correspondants des sur- 

 faces (A) et (A') se rencontrent au même point de la surface 

 (D) il s'ensuit que les points de contact des rayons incidents 

 et des rayons réfléchis, avec les caustiques, se trouvent sur 

 une même droite passant par le pôle de transformation. 



Les caustiques dans le cas considéré sont évidemment au 

 nombre de quatre : deux pour les rayons incidents et deux 

 pour les rayons réfléchis. 



Enfin, on peut, connaissant la surface dirimante (D), déter- 

 miner l'équation générale de toutes les surfaces réciproques 

 par rapport à un point qui sont ses anticaustiques. 



En effet, si 



est l'équation de la podaire (P) de la dirimante (D) par rap- 

 port au pôle 0, 



[ô = POjs et f est l'angle dièdre formé par les plans PO^ et ^0^] 



l'équation de la podaire (P') de la même dirimante (D) par 

 rapport à un autre pôle 0' sera : 



(6) q' = q — 00' [cos6. cos6o + sin6. sin6o.cos(9 — Ço)]; 



où 00' est la distance des deux pôles et Gq et ço les angles 

 formés par 00' et le plan P'OV avec les directions invaria- 

 bles des axes et des plans coordonnés. 



Des relations (4) et (6) on déduira l'équation générale (5) 

 qui comprend les anticaustiques cherchées. 



