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lieu du point M, tel que l'angle de MA avec MB ait une 

 valeur donnée (à un multiple près de -k, nécessairement), 

 l'on trouvera pour ce lieu un cercle, passant par les points 

 A et B, et tous les points de ce cercle feront partie du lieu. 

 Le cercle symétrique du précédent serait le lieu des points 

 M, pour lesquels l'angle de MA avec MB aurait' une valeur 

 supplémentaire de la valeur donnée précédemment. 



2. Ceci posé, cherchons le centre du cercle, lieu des 

 points M tels que l'angle que fait MA avec MB ait une 

 valeur donnée (o. Ce centre est le foyet' singulier de la 

 courbe, c'est donc le point réel situé sur la tangente menée 

 à cette courbe en un quelconque des ombilics. 



Appelons I l'ombilic par lequel passent les di\ erses lignes 

 isotropes du plan qui ont pour coefficient angulaire /. 



Soit K un point du lieu infiniment voisin du point I, en 

 sorte que KF est infiniment voisine de la tangente au cercle 

 en I. Le point K appartenant au lieu, l'angle qtie fait KA 

 avec KB est égal à o). Maintenant, joignons le point K au 

 deuxième ombilic du plan J ; la droite KJ sera infiniment 

 voisine de la droite de l'inlini, et le point k', où elle coupera 

 la droite AB, sera infiniment voisin du point à l'infini sur 

 cette droite. Soit k le point où la droite Kl coupe la droite 

 A B ; d'après une proposition fondamentale que j'ai donnée 

 pour la première fois dans une note sur la théorie des foyers 

 insérée dans les Nouvelles Annales de mathématiques (18o3), 

 l'on sait que le rapport anharmonique des quatre points 

 A, B ; k, k', est égal à e-^\ quantité qui est j)arfaitement 

 déterminée (Voir § {). 



L'on aura donc 



Ak Bk 



Ak' ' Bk'~ ' 



d'où en passant à la limite et en remarquant que le point 

 k' est alors à l'infini 



Ak 

 Bk" ' 



D'où cette conclusion : Pour trouver le centre du cercle, 



