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lieu des points M tels que l'angle de MA avec MB ait une 



valeur donnée w, prenons sur la droite AB un point k tel 



Ak 

 que le rapport -^ ait pour valeur e^"» ; menons par ce 



xi K 



point la droite isotrope qui passe au point I, le point réel 

 situé sur cette droite sera le centre cherché. 



3. Soient maintenant deux courbes quelconques A et B, 

 cherchons le lieu des points M tels qu'une des tangentes 

 menées de ce point à la courbe A fasse un angle donné 

 avec une des tangentes menées de ce même point à la courbe 

 B. Ce lieu a déjà occupé divers géomètres, notamment 

 M. Cremona et M. Faure, qui ont déterminé son degré et sa 

 classe. Je me propose ici de déterminer ses foyers principaux ; 

 on sait d'ailleurs que cette courbe (en général) ne rencontre 

 la droite de l'infini qu'aux ombilics, qui sont pour elle des 

 points multiples de l'ordre n — 1, 2n. étant le degré de la 

 courbe. Considérons en particulier l'ombilic I, chacune des 

 tangentes menées à la courbe et la touchant en ce point 

 contiendra un point réel qui sera le foyer singulier corres- 

 pondant à la branche de courbe que l'on considère. Soit un 

 point K situé sur cette branche et à une distance infiniment 

 voisine du point I ; en sorte que la droite Kl est infiniment 

 voisine de la tangente en I à cette branche du lieu. Soient 

 lia, lib, les droites menées tangentiellement aux courbes 

 A et B et qui font l'angle donné w. Ces deux tangentes 

 sont nécessairement infiniment voisines de deux droites 

 isotropes ; soit F le foyer de A , qui est infiniment voisin du 

 point- réel situé sur la droite lia; soit G le foyer de B, 

 qui est infiniment voisin du point réel situé sur la droite 

 Kb. 



Je joins le point K au deuxième ombilic du plan J ; la 

 droite RJ coupe la droite FG en un point k' infiniment 

 voisin de la droite de l'infini. La droite Ka coupe FG en 

 un point F' infiniment voisin de F, et la droite lib coupe 

 FG en un point G' infiniment voisin de G. Soit de plus k le 

 point où Kl coupe FG ; d'après la proposition fondamentale 

 que j'ai rappelée plus haut, l'on a: 



F7i G'k 



• • pttùl 



¥'k''G'k' 



