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D'où, en passant à la limite et en remarquant que les points 

 F' et G' viennent alors se confondre avec les points F et G 

 et que le point h' s'en va à l'infini, 



G k 



L'on obtiendra donc le foyer singulier correspondant à la 

 branche de courbe considérée, en déterminant, sur la droite 

 FG, le point k par celte équation, en joignant ce point 

 à l'ombilic I et en prenant le point réel situé sur cette 

 courbe . 



En comparant ce résultat avec celui que j'ai obtenu 

 dans le paragraphe précédent, l'on en déduit la proposition 

 suivante : 



« Le loyer singulier, correspondant à la branche de courbe 

 » considérée, est le centre du cercle décrit sur FG comme 

 » segment et capable de l'angle donné oi. » 



L'ensemble des foyers singuliers de la couche s'obtiendra 

 facilement. Désignons par F, Fi.... F,„ les m foyers de la 

 courbe A, et par G, Gj... G„ les n foyers de la courbe B. 

 Prenons un foyer quelconque F, de A et un foyer quelcon- 

 que F^- de B : le centre du cercle, décrit sur F^ Fy comme 

 segment et capable de l'angle donné, sera un des foyers sin- 

 guliers de la courbe; et on les obtiendra tous en combinant, 

 de toutes les façons possibles, chacun des foyers de A avec 

 chacun des foyers de B. 



Remarquons, en passant, que, d'après ce qui précède, 

 l'équation du degré mn, à laquelle conduit la détermina- 

 tion des foyers singuliers du lieu, sera résoluble par la 

 résolution d'une équation du degré m et d'une équation du 

 degré n. 



Un des cas les plus utiles dans les applications est celui 

 où la courbe B se réduit à un point P. La courbe étudiée est 

 alors une podaire, c'est-à-dire le lieu des projections du 

 point P sur les tangentes à la courbe A. Les foyers singu- 

 liers de cette podaire sont les points milieux des segments 

 qui joignent le point P aux différents foyers de A. 



5. Je vais traiter maintenant le problème inverse du pro- 

 blème précédent. Étant données deux courbes fixes A et B, 



