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gulier G, un point K infiniment voisin du point I. Joignons 

 PK, puis menons en K la perpendiculaire à cette droite; 

 cette perpendiculaire, étant à la limite une droite isotrope, 

 le point réel qu'elle contient sera, à la limite, un foyer du. 

 lieu cherché. D'un autre côté, la droite IK s'écarte infini- % 

 ment peu de la tangente en I à la branche considérée de 

 la courbe A; elle coupe donc la droite réelle PG en un 

 point k infiniment voisin du point G. La droite KJ, s'écar- 

 tant infiniment peu de la droite de l'infini, coupe PG en un 

 point k' infiniment voisin de cette droite. Soit H le point 

 où la perpendiculaire en K à la droite PK coupe KG, Ton 

 voit facilement que les quatre points P, H, k, k', forment 

 un système de points harmoniques, on a donc la relation sui- 

 vante : 



P/v Ek _ 

 P/c' ' Ek'~ 



d'où en passant à la fimite PG = GH. 



On voit que le point H s'obtient en joignant le point P 

 au foyer singulier G et en prolongeant la droite PG d'une 

 longueur égale à elle-même. 



En considérant la branche de courbe, passant au point J, 

 qui correspond au même foyer singulier G, on obtiendrait 

 aussi une tangente isotrope au lieu cherché passant par H ; 

 donc ce point est un foyer de la courbe C. 



6. En réunissant les résultats obtenus précédemment, l'on 

 arrive au résultat suivant : 



« La courbe C, définie comme ci-dessus, est de 

 » 2 (m 4- n)''^'"'' classe ; elle a : 



« 1° n foyers situés à l'infini et sur des directions per- 

 )) pendiculaires aux n asymptotes de la courbe A qui ne sont 

 » pas isotropes ; 



« 2° Un foyer multiple au point iixe P, qui compte pour 

 » (m 4- '^) foyers; 



<f 3° m autres foyers H, H', etc., que l'on obtient en joi- 

 » gnant le point P aux foyers singuliers de la courbe A, et 

 » en prolongeant d'une longueur égale à elle-même chacune 

 » des droites ainsi obtenues. 



7. Je vais appliquer ce résultat à la recherche de la rela- 



Extrait de l' Institut , V section, 1868. 9 



