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où H est une fonction de p seulement, et Hi de pj ; on a 

 alors : 



F^ /'(p) + ?(Pi) 

 H + Hi 



/■ et ç étant deux fonctions arbitraires. 



Au lieu de considérer R comme une fonction de p et p, 

 seulement, on peut le regarder aussi comme fonction de p^; 

 et, si l'équation (1) est vérifiée, on aura pour chacune des 

 surfaces (P2) une série de sphères dont les cordes de contact 

 sont normales à des surfaces. 



Il est naturel de se demander dans quelles conditions les 

 surfaces normales aux cordes de contact feront partie d'un 

 système triplement orthogonal ; or, on trouve que cela a lieu 

 lorsque l'équation (1) subsistant : 



(2) 



(3) 



d^F 

 dpidpi 



d^Fi 



dpi dp 



Nous avons vu tout à l'heure que la fonction H2 substituée 

 dans l'équation (1) la rendait identique; si substituée dans 

 (2) et (3) elle conduisait encore à deux identités, il en ré- 

 sulterait que l'on connaîtrait immédiatement un système or- 

 thogonal déduit du premier sans aucune intégration. 



Or les équations (2) et (3) dans lesquelles on remplace F 

 par H2 expriment que les trajectoires orthogonales des sur- 

 faces (P2) sont des cercles; il en résulte que le système tri- 

 plement orthogonal considéré doit contenir deux séries d'en- 

 veloppes de sphères. 



Or, maintenant si l'on cherche quelles sont les conditions 

 nécessaires et suffisantes pour que deux séries d'enveloppes 

 de sphères orthogonales soient normales à une surface don- 

 née, on trouve que le H2 satisfait à la seule équation : 



d^Ei dEi 1 dll . dEi l dEi 



dp dpi dp H dpi dpi Hi dp 



