— 4 — 



c'est;-à-4ire qu'à toute fonction H2 satisfaisant à cette équa- 

 tion correspond une double série d'enveloppes de sphères 

 orthogonales; faisant partie d'un système triplement ortho- 

 gonal ; la multiplication de Hj par une constante ne donne 

 plus rien. Mais il résulte de ce qui précède qu'à toute en- 

 veloppe de sphères dont les cordes de contact sont normales 

 à une surface correspond un système orthogonal particulier. 

 A ce système particulier en correspond un autre que l'on 

 obtient sans aucune intégration lorsque le premier est com- 

 plètement défini ; enfin à ces deux systèmes en correspondent 

 une infinité d'autres que l'on obtient en intégrant deux 

 équations. Il est facile de voir que tous les systèmes ainsi ob- 

 tenus jouissent tous de cette propriété de comprendre deux 

 séries d'enveloppes de sphères orthogonales. 



Il résulte aussi de ce qui précède que, si l'on a des sur- 

 faces (P2) faisant partie d'un système triplement orthogonal, 

 les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales de ces 

 surfaces, tout le long de l'une d'entre elles, sont orthogonaux 

 eux-mêmes à une série de surfaces faisant partie d'un sys- 

 tème triplement orthogonal. Ce système est osculateur au 

 premier tout le long de la surface (P2). 



Si des cercles sont orthogonaux à des surfaces faisant par- 

 tie d'un système triplement orthogonal, le lieu des centres 

 de courbure principaux de ces surfaces, tout le long d'un des 

 cercles, se compose de deux droites situées dans le plan du 

 cercle même. 



Tous ces cercles enveloppent quatre surfaces qu'ils tou- 

 chent aux points où ils sont rencontrés par les deux droites 

 dont il vient d'être question. 



Les plans tangents aux points oii un cercle touche ses 

 surfaces enveloppes sont situés deux d'un côté du plan du 

 cercle, deux de l'autre ; deux plans situés du même côté de 

 ce plan font avec lui des angles égaux ; des angles situés de 

 côtés différents font des angles complémentaires. 



Cette dernière propriété appartient d'ailleurs à toutes les 

 courbes planes trajectoires orthogonales d'une série de sur- 

 faces faisant partie d'un système triplement orthogonal. 



On ne connaissait jusqu'à présent que deux systèmes tri- 

 plement orthogonaux déduits d'une surface donnée : le sys- 

 tème contenant les surfaces parallèles à la proposée, et le 



