conque, les extrémités de chacune des valeurs correspon- 

 dantes de l'autre variable décrivent des figures qu'on peut 

 appeler les transformantes de la première. 



Cette remarque ingénieuse a été présentée, en 1846, à la 

 Société philomathique, par M. Fâure, professeur de mathéma- 

 tiques au collège d'Embrun, et il en résultait le problème 

 de chercher les relations des figures transformantes soit entre 

 elles, soit avec la figure primitive dite la transformée. Et, 

 par exemple, il fut établi dès cette époque ce fait bien 

 connu, que toute région infiniment petite autour d'un point 

 de la transformée est représentée par une région semblable 

 autour du point correspondant de chacune des transfor- 

 mantes. Mais il ne paraît pas que, depuis lors, on se soit 

 avisé de rechercher les lois relatives à la correspondance 

 entre les éléments du second ordre , c'est-à-dire entre le 

 rayon de courbure de la figure primitive et ceux de ses trans- 

 formantes. Or, l'expression de ces lois se résume dans les 

 deux théorèmes suivants : 



Théorème I. Toutes les droites qui passent par un même 

 point de la figure primitive ont pour transformantes des 

 courbes dont les centres de courbure relatifs au point corres- 

 pondant sont sur une droite. 



Théorème II. Si plusieurs courbes passant en un point a de 

 la figure transformée ont en ce point le même rayon de cour- 

 bure p, les rayons de courbure correspondants de toutes les 

 transformantes seront les rayons vecteurs d'une même conique 

 ayant pour foyer le point A , transformant du point a. De 

 plus, cette conique variera d'espèce avec la valeur de p ; mais 

 sa directrice sera fixe, étant la droite à laquelle se réduit la 

 conique elle-même lorsque les transformées sont des lignes 

 droites, c'est-à-dire lorsque p est infini. 



Il y a ensuite des rapprochements curieux à faire entre la 

 transformation des figures sphériques par leur projection 

 stéréographique et la transformation des figures planes au 

 moyen d'une équation à deux variables interprétée selon les 

 règles du calcul directif. En effet, on sait déjà que la région 

 sphérique infiniment petite autour d'un point est semblable 

 à la région qui lui correspond en projection; mais de plus 

 on a les deux théorèmes suivants : 



Théorème I. Tous les grands cercles qui passent par un 



