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Sur la théorie de l'application des surfaces Vune sur l'autre, 

 par M. Ribaucour. 



On sait quelles difficultés présente l'intégration de l'équa- 

 tion aux différentielles partielles du second ordre qui domine 

 la théorie de la déformation des surfaces. M. Moutard et moi, 

 chacun de notre côté, nous nous sommes proposé un problème 

 plus abordable : la recherche des groupes de deux surfaces ap- 

 plicables l'une sur l'autre. M. Moutard, à l'aide d'une trans- 

 formation élégante qu'il a communiquée à la Société, et moi, 

 directement, en me servant de formules spéciales qui sem- 

 blent très-importantes dans la théorie des surfaces, nous 

 avons pu former un nombre indéfini de ces groupes, même de 

 ceux qui comprennent deux surfaces algébriques. J'expose- 

 rai dans cette note deux théorèmes complètement géométri- 

 ques qui permettent de trouver autant de solutions que l'on 

 veut de la question. 



Th. I. — Soient deux surfaces {A) et {A') applicables l\une 

 sur l'autre; joignons les points correspondants A et A' et por- 

 tons à partir du milieu M sur A A', de part et d'autre, les lon- 

 gueurs MB et MB' égales à K fois AM; les surfaces [D) et (5*) 

 lieux des points B et B' sont encore applicables l'une sur 

 l'autre. 



La connaissance d'un groupe de surfaces applicables l'une 

 sur l'autre fournit donc une infinité de groupes analogues, 

 correspondant aux diverses valeurs de la constante K. 



Je me suisproposé,connaissantla surface (M) lieu des milieux 

 des cordes AA', de trouver tous les groupes tels que (A) (A') ; 

 ils sont tousdonnés par une équation aux différentielles partiel- 

 les du second ordre, sur laquelle je reviendrai dans une autre 

 communication, et qui s'intègre immédiatement dans le cas 

 où (M) est une surface du second degré. 



J'ai aussi étudié la question à un autre point de vue. Éle- 

 vons par les milieux M des cordes telles que AA', des plans 

 perpendiculaires à ces cordes, ils enveloppent une surface (0). 

 Nous donnant (0) nous pouvons chercher tous les groupes 

 de surfaces (A) (A') correspondants; ils sont encore donnés 



