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Sur quelques propriétés des lignes spiriquse, 

 par M. Laguerre. 



4 . On désigne sous le nom de lignes spiriques les cour- 

 bes anallagniatiques du quatrième ordre qui ont un axe de 

 symétrie. Ces lignes ont été depuis longtemps l'objet des 

 études des géomètres, et, récemment encore, M. de la Gour- 

 nerie leur a consacré un remarquable mémoire inséré dans 

 le Journal de Liouville (1869). 



Comme toutes les anallagmatiques, ces courbes ont quatre 

 foyers singuliers, dont deux réels et deux imaginaires; ces 

 quatre foyers sont d'ailleurs les foyers ordinaires des quatre 

 coniques homofocales au moyen desquelles, d'après la pro- 

 position de M. Moutard, on peut décrire ces courbes en les 

 considérant comme enveloppes de cercles. 



On peut distinguer deux espèces de spiriques; dans les 

 premières, que je dirai être de première espèce, les deux 

 foyers singuliers réels sont situés sur l'axe de symétrie; dans 

 les autres, que je dirai être de deuxième espèce, ce sont les 

 deux foyers singuliers imaginaires qui sont situés sur cet 

 axe. Leurs propriétés, du reste, sont les mêmes au fond, et 

 ne diffèrent que par les diverses façons de les énoncer. Dans 

 tout ce qui suit, je considérerai spécialement les spiriques 

 de première espèce. 



N'ayant à considérer ici que les foyers singuliers de ces 

 courbes, je les désignerai simplement sous le nom de foyers. 

 Autour de chaque foyer singulier, comme centre, on peut 

 décrire un cercle qui oscule la courbe en chacun des ombi- 

 lics ; je désignerai les deux cercles ainsi définis sous le nom 

 de cercles focaux. 



Etant donné un cerclC; j'entends par puissance d'un point, 

 relativement à ce cercle, le carré de la longueur de la tan- 

 gente que l'on peut mener de ce point au cercle. 



Les spiriques renferment, comme cas particuliers, un grand 

 nombre do courbes remarquables, notamment les ovales de 

 Descartes, ou, pour me servir d'une expression plus nette 

 déjà employée par M. de la Gournerie, les cartésiennes; 



