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Çon^eyons que (a?, y, s) et {Xi, y^, z^) désignent Jes coor- 

 données de deux points correspondants de deux surfaces 

 ayant entre elles le mode de dépendance énoncé, on aura 

 évidemment pour tous les systèmes de valeurs des deux pa- 

 ramètres uniques dont dépendent ces six coordonnées : 



dxdx\ -\- dydt/i -j- dzdz^ ■—. 0. 



Si donc on considère les deux surfaces définies par les 

 équations • 



Ç = Xœ + V-Xi, fi =ly ^ [xyi, Ç = Xs -f [xs^ 

 et 



^^ = 'Kx— [t.Xi, r)iZ=Xy ^ [xyi, Ci = >v3 — j^s^, 



on aura : 



dk^ + dTi'^ 4. M^ = d^/ >jr,djii^ 4- V 



et par suite les deux surfaces (^, yj, Ç), et {^i, r;,, ^,), seront 

 applicables l'une sur l'autre. Toute solution particulière de 

 mon problème fournit donc une solution particulière du 

 problème qui a pour objet de trouver deux surfaces appli- 

 cables l'une sur l'autre; il n'est pas moins aisé de voir que 

 toute solution particulière du second problème fournit une 

 solution du premier ; en conséquence, si l'on pouvait former 

 le tableau complet de tous les couples de surfaces qui satis- 

 font à l'une des deux conditions, on aurait par cela même le 

 tableau complet de tous les couples de surface qui satisfont 

 à l'autre. Je ne prétends pas dire, d'après cela, que les deux 

 problèmes soient identiques, car lorsqu'on se propose, par 

 exemple, de trouver toutes les surfaces applicables sur une 

 surface donnée, de nouvelles difficultés analytiques d'un 

 ordre moindre, il est vrai, se présentent lorsqu'on veut re- 

 chercher tous les couples de surfaces assujetties à l'orthogo- 

 nalité de leurs éléments linéaires correspondants, et suscep- 

 tibles de fournir un couple de surfaces applicables dont l'une 

 soit précisément la surface donnée. Mais la remarque qui 

 ^précède n'en établit pas moins entre les deux problèmes un 

 lien que, je dois l'ajouter, Ip développement de l'analyse 

 rend encore plus, intime. 



