— m — 



En appliquant t^te remarque aux formules les plus géné- 

 rales que j'aie pu obtenir, je suis parvenu à former des équa- 

 tions renfermant explicitement jusqu'à six fonctions arbi- 

 traires bien distinctes, et leurs dérivées en nombre quelcon- 

 que, mais limité, qui, par le simple changement de signe 

 d'un paramètre, fournit des couples de surfaces applica- 

 bles l'une sur l'autre. Ces formules, que je ne transcrirai 

 point ici à cause de leur complication, sont algébriques, et 

 fournissent par conséquent des couples de surfaces applicables 

 algébriques, lorsqu'on choisira pour les six fonctions arbi- 

 traires elles-mêmes des fonctions algébriques. Dans ce cas, il 

 arrivera d'ailleurs fréquemment que les deux surfaces d'un 

 même couple ne constitueront, au point de vue de la conti- 

 nuité, qu'un seul et même être géométrique; et l'on obtien- 

 dra ainsi un nombre illimité de surfaces susceptibles de 

 coïncider avec elles-mêmes, après avoir subi une déformation 

 qui altérerait en chaque point les deux rayons de courbure 

 principaux, leur produit restant, bien entendu, constant, en 

 vertu de la loi de Gauss. Un type extrêmement simple de 

 surfaces satisfaisant à cette condition, pour lequel la vérifica- 

 tion immédiate est facile, est fourni par les équations : 



X =.f (u), y =z 1 dv \/f''^ (u) -|_ a, z = U'^v \/i 



où /(w) est une fonction arbitraire, /' (v) la dérivée de f{v), 

 et a une constante différente de 0. Le carré de l'élément li- 

 néaire d'une pareille surface, ayant une expression symétrique 

 en u et V, k savoir : 



ds'^ = if^ (w) + l) du'^ + 2 )jr^du dv + iP (v) -f- 1) dv^, 



on voit tout de suite que la surface est applicable sur celle 

 dont les équations .se déduisaient des précédentes par l'é- 

 change des lettres u et v, laquelle est évidemment superpo- 

 sable à la première. D'autre part, 1 équation qui fournit les 

 rayons de courbure en un point quelconque est 



