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tait le principe de ia théorie des parallèies. coiiuu sous le 

 nom de Postulatum d'Euclide. 



Cette dernière géométrie a été traitée simultanément par 

 le professeur russe Lobatchefsky et par l'officier hongrois 

 Jean Bolyaï. Ces deux mathématiciens, en cherchant à 

 développer une géométrie hypothétique du plan, ont fondé, 

 par le fait, la théorie des figures formées par les lignes 

 géodésiques d'une surface de courbure constante négative, 

 ou surface pseudosphérique, suivant la dénomination propo- 

 sée par M. Beltrami; en sorte que leurs recherches s'appli- 

 quent à des objets parfaitement réels, indépendamment de 

 l'hypothèse qu'ils avaient prise pour point de départ. Mais 

 cette géométrie est la seule que l'on ait le droit d'appliquer 

 au plan, tant que, pour une raison quelconque, on ne sera 

 pas à même d'affirmer la vérité du principe des parallèles. 



Lobatchefsky, par des considérations fondées sur les ob- 

 servations de la parallaxe annuelle des étoiles, a rigoureuse- 

 ment démontré que, dans tous les triangles que les hommes 

 auront jamais à mesurer, la somme des angles ne pourra 

 pas différer de deux angles droits d'une quantité appréciable. 

 Si l'on ne veut pas se contenter de cette preuve expérimen- 

 tale, qui suffit pourtant, et au delà, dans toutes les applica- 

 tions de la géométrie, et surpasse en précision toutes celles 

 qui servent de base aux principes de la mécanique, et dont 

 on n'a jamais songé à contester la valeur , il est naturel 

 alors qu'on cherche à s'en assurer en partant des données 

 précédemment admises c'est-à-dire de l'existence de la ligne 

 droite (1) et du plan, 



11 faut donc prouver, si l'on peut, que l'hypothèse de la 



(1) Les conditions qu'implique l'existence de la ligne droite ont 

 été énumérées dans l'article de M. Bertrand, inséré dans les 

 Compte;^ rendus des séances de V Académie des sciencps, Toi. LXX, 

 page 17 (3 janvier 1870). Il nous semble que l'auteur indique une 

 condition de trop, en affirmant que la propriété de la ligne 

 droite d'être la plus courte entre deux de ses points, doit ê1re 

 admise sans démonstration. Voy. les Eléments d'Euclide, livre I, 

 proposition 20, et l'ouvrage de M. Duhamel (Des Méthodes dans les 

 sciences de raisonnement), tome II, pages 7, 312, 319, et le chapi- 

 tre 6, pages 411 à 417. 



