somme des angles d'un triangle rectiligne moindre que deux 

 angles droits conduit nécessairement à une contradiction, 

 quand on en développe toutes les conséquences. Mais, dans 

 cette démonstration par Vabsurde^ il faut avoir soin de ne 

 négliger aucune des conséquences de l'hypothèse que l'on 

 veut combattre. Sans cela les contradictions que l'on ren- 

 contrera pourront toujours être attribuées au changement 

 d'hypothèse que l'on aura introduit dans le courant du 

 raisonnement. C'est l'oubli de cette règle élémentaire de 

 logique qui a conduit tant de géomètres à proposer des dé- 

 monstrations dans lesquelles un plus mûr examen fait 

 apercevoir des pétitions de principe. 



Sans vouloir préjuger la question de savoir si, comme 

 Ampère l'indique en passant (1), on peut espérer trouver 

 dans les constructions à trois dimensions le moyen d'arriver 

 à la solution tant cherchée, on peut affirmer d'avance, une 

 fois pour toutes, que jamais les méthodes fondées sur des 

 constructions planes ne pourront conduire à ce but. 



En effet, ces constructions, pour être concluantes, doivent 

 être faites sans s'appuyer sur le principe que l'on veut éta- 

 blir, et, par suite, en admettant l'hypothèse contraire. Or, 

 dans ce cas, comme l'ont établi Lobatchefsky et Bolyaï, la 

 géométrie du plan rentrera, comme cas particulier, dans 

 celle des surfaces de courbure constante négative, et les 

 constructions faites sur le plan ne pourront jamais conduire 

 à des conclusions autres que celles qu'on tirerait si elles 

 étaient faites sur ces surfaces courbes. 



Mais on sait que, sur une surface de courbure constante 

 négative, la somme des angles de tout triangle géodésique 

 est moindre que deux angles droits. Donc, les constructions 

 dont il s'agit, ne pouvant amener à une conclusion con- 

 traire sur la surface courbe, ne le pourront jamais non plus 

 sur le plan. 



Cette assertion se vérifie facilement par un examen atten- 



(4) Essai sur la philosophie des Sciencts^ tome I, page 67. Voy. 

 le savant mémoire de M . Ginocchi, intitulé ; Dei primi principii 

 délia meccanica e délia geometria in relazione alPostulato d'Eu- 

 clide, page 3o. Florence, 1869. 



