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tif de la démonstration présentée récemment par M. Carton 

 à l'Académie des sciences de Paris. D'après un théorème 

 connu, l'aire d'un polygone géodésique de n côtés, sur une 

 surface de courbure constante négative, est proportionnelle . 

 à la différence entre la somme de ses angles et 2 n — 4 

 angles droits. Il résulte de là que cette aire a une valeur 

 constamment intérieure à un certain maximum. Si l'on veut 

 fonder la démonstration du principe des parallèles sur la 

 considération d'un hexagone, il faut que celui-ci soit con- 

 structible indépendamment du principe en question, c'est-à- 

 dire en laissant provisoirement au plan toutes les propriétés 

 des surfaces de courbure constante négative. Mais alors 

 l'aire de cet hexagone ne pourra plus renfermer dans son 

 intérieur un nombre illimité de triangles égaux entre eux 

 et de grandeur Unie. Il faudra donc, passé une certaine 

 limite, que le périmètre de l'hexagone se coupe lui-même, 

 auquel cas, la démonstration ne sera plus possible. 



Su7^ une propriété relative aux courbes tracées sur une 

 surface quelconque, par M, Laguerre. 



Considérons une courbe tracée sur une surface quelconque 

 et la normale dont elle est la directrice; en chacun des 

 points de cette courbe concevons que l'on porte sur la nor- 

 male, à partir de ce point, une longueur N, fonction de la 

 position du point sur la directrice. Cela posé, si on cons'i- 

 dère un point quelconque M de cette courbe et un point 

 mliniment voisin M', en désignant par V et V les angles que 

 font avec M M' les segments N et N' portés sur les normales 

 en M et M', on trouve facilement que l'expression 



(1) M M' (N cos V 4- N' cos V) 

 développée suivant la puissance croissante de dSj a pour 



valeur [K(?s3-l-i( — j ds'"- 4- des termes du degré supérieur 



au quatrième. 



Extrait de V Institut^ v* section, 1870. 4 



