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D'où cette conclusion, que l'expression donnée ci-dessus 

 est généralement du troisième ordre, mais que quand elle 

 est d'un ordre supérieur au troisième, elle est au moins du 

 cinquième. 



Pour que K soit égal à zéro, il faut et il suffit que N sa- 

 tisfasse à l'équation différentielle 



(iN _ 2 di] _ d sin iù ,^dp 

 ^ '^ N 3 tang w sin w *" 3 p 



Formule oii dri désigne l'angle de torsion au point don- 

 né, p le rayon de courbure et w l'angle que fait avec la 

 surface la normale principale en ce point. 



On déduit de là 



r dri 



sm w) 



La valeur du segment N étant déterminée par la relation 

 précédente, on aura alors cette proposition, que l'expression 

 (1), en chacun des points de la courbe, sera une quantité infi- 

 niment petite du cinquième ordre. 



L'équation (2) peut se mettre sous la forme suivante : 



dN _ 2 dri — dtù , 1 £p 

 N 3 tang w 3 p 



p désignant le rayon de courbure de la section normale 

 tangente à la directrice. 



Si la courbe considérée est une ligne de courbure ou une 

 ligne géodésique, on a dans les deux cas 



dt] — tZto 



tang w 



La valeur de N est donc, dans les deux cas, proportion- 

 nelle à la racine cubique de p. 



De là une propriété géométrique commune, on le voit, 

 aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure pouvant 



