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mais il n'est pas moins vrai qu'en fait les nombres positifs ou 

 négatifs sont considérés, par tous les calculateurs, comme appor- 

 tant dans le calcul les conséquences qui résultent de leurs qua- 

 lités opposées, sans que d'ailleurs il y ait lieu de se préoccuper 

 des grandeurs physiques qu'ils pourraient représenter dans une 

 application particulière. 11 n'y a donc, dans l'état actuel de la 

 science que les seules formes imaginaires, dont il serait à propos 

 de dire avec M. Yallès qu'elles impliquent une opération inexé- 

 cutable sur les nombres et cependant réalisable sur certaines 

 sortes de grandeurs. Ce serait un mode de transaction à offrir à 

 ceux qui persistent à rejeter ces formes en dehors de la réalité. 



Cependant, puisqu'on s'est habitué à considérer les étals positif 

 et négatif comme des qualités abstraites du nombre réel , je ne 

 doute pas qu'on en vienne un jour à admettre que la qualité cor- 

 respondante à la forme imaginaire peut convenir également à des 

 nombres réels; c'est pourquoi, moi-même, dans quelques écrits, 

 je n'ai point hésité à attribuer à ces formes la dénomination de 

 nombres directifs, autrefois proposée par Mourey, préférablement à 

 celle de nombres complexes qui semble être en faveur auprès des 

 géomètres, mais qui semble laisser indécise la question de réalité. 



J'arrive maintenant à la seconde partie du livre de M. Vallès. 

 — On comprend d'abord que c'est seulement aux grandeurs con- 

 tinues que se peuvent appliquer les formes fractionnaires et les 

 formes irrationnelles. Mais déjà la subdivision de grandeur en 

 parties do plus en plus nombreuses ne suffit pas à réaliser exac- 

 tement la forme irrationnelle , et, d'une manière générale, des 

 parties si petites qu'elles soient ne sauraient constituer les élé- 

 ments de la continuité. C'est par la conception des infiniment pe- 

 tits que les géomètres ont pu étudier dans sa génération même 

 toute grandeur continue , et c'est là que M. Vallès place avec 

 raison le point de départ du calcul différentiel. Mais qu'est-ce 

 que l'infiniment petit? Est-ce une grandeur saisissable? ou 

 bien y a-t-il au delà des parties divisibles un dernier terme 

 indivisible dont l'existence échapperait à toute vérification et que 

 cependant la raison devrait concevoir comme l'élément des gran- 

 deurs ? M. Vallès adopte cette opinion; mais quoiqu'elle ait été 

 autrefois préconisée par des auteurs recommandables , cette opi- 

 nion dans l'état actuel de la science ne paraît pas admissible. Ce 

 fut, comme on sait, le principe de la célèbre théorie des indivisi- 

 bles de Cavalleri. Pour ce géomètre le point est l'élément de la 

 ligne ; la ligne est l'élément de la surface, et la surface l'élément 

 du solide. En d'autres termes, pour lui la ligne est une somme 

 de points en nombre infini ; la surface une somme de lignes ; le 

 solide une somme de surfaces. — Ce premier pas franchi, on a à 



