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sur la généralité des nombres comme lorsqu'il s'agit de la 

 division ou de l'extraction des racines, soit sur les totalités comme 

 lorsqu'il s'agit de l'extraction des racines de degré pair d'un nom- 

 bre afl^cté de la forme négative. Aussi bien n'est-ce jamais, selon 

 noire auteur, sur les nombres abstraits des formules que s'exécu 

 tent ces diverses opérations. Il observe en effet que, dans l'ordre 

 des applications, les nombres impliqués dans les formules n'y sont 

 le plus souvent que les coefîîdents de quelque unité concrète que 

 sous le nom démodules, il distingue dg l'unité abstraite ou numé- 

 rique. A la vérité les modules ne sont presque jamais exprimés 

 dans les calculs d'application; mais le calculateur les sous-entend 

 toujours. — Quoi qu'il en soit dans toute formule, il n'y a que 

 nombres et indices d'opérations. — Nombres entiers construits avec 

 l'unité abstraite; opérations à effectuer sur les modules. — Et par 

 conséquent la formule sera ou ne sera pas applicable à un 

 ordre concret particulier selon que le module correspondant est 

 ou n'est pas apte à subir ces opérations. 



Tel m'est apparu, à travers beaucoup de détails que j'ai dû 

 omettre, l'enchaînement des idées de l'auteur, enchaîne- 

 ment très-propre à faire comprendre la division de son livre 

 en deux parties; la première ayant pour objet de passer en revue 

 les diverses Ibrmes ou opérations de l'algèbre; la seconde d'exa 

 miner les divers attributs de la grandeur auxquels ces formes ou 

 opérations peuvent correspondre. Ces attributs, selon M.Vallès, se 

 réduisent à deux, la continuité et la direction, mais avant d'exa- 

 miner cette seconde partie du livre, je tiens à faire quelques ré- 

 serves au sujet de la première . 



Quelqu'ingénieuse que soit l'explication des formes de l'algèbre 

 qu'a donnée M. Vallès, je doute qu'elle puisse être acceptée. L'i- 

 dée de l'unité en mathématiques ne me paraît pas être, comme 

 en métaphysique, une idée irréductible. Dès le premier pas dans la 

 science on apprend à constituer un système de numération avec des 

 unités de différents ordres, de sorte que, sans recourir à aucune 

 considération concrète,* l'esprit est tout préparé à voir l'unité 

 principale se décomposer en unités d'ordres inférieurs, ceux-ci 

 soumis ou non à la même progression que les ordres supérieurs. 

 Le nombre fractionnaire existe donc en abstrait aussi bien que 

 le nombre entier. Après cela, par le principe des limites, le 

 nombre irrationnel ou incommensurable se définit à l'aide du 

 nombre commensurable. — Quant aux états positif et négatif, il 

 est bien vrai que pour avoir raison de l'erreur trop longtemps 

 persistante qui consiste à considérer les signes caractéristiques de 

 ces deux états comme des signes d'addition ou de soustraction , il 

 faut avoir recours à des exemples puisés dans l'ordre concret 



