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Si une ligne de courbure tracée sur une surface (S) est 

 un cercle géodésique, il y a une sphère qui coupe à angle 

 droit (S) suivant cette ligne de courbure ; soit (A) la ligne 

 lieu des centres des sphères coupant (S) suivant toutes les lignes 

 de courbure du premiersystème,et(B)lalignelieu des centres 

 des sphères coupant (S) suivant les lignes de courbure du 

 second système; il est clair que chacune des sphères ayant 

 son centre sur (A) est orthogonale à chacune des sphères 

 ayant son centre sur (B) ; donc, d'après les propriétés des 

 sphères orthogonales, toute corde de (A) est orthogonale à une 

 corde quelconque de (B). Or, cela ne peut se faire que dans 

 les conditions suivantes : 



1» (A) est une droite et (B) est une courbe tracée dans un 

 plan perpendiculaire à (A) ; ou (B) est une droite et (B) est 

 située dans un plan perpendiculaire à (B) ; 



2° (A) et (B) sont deux droites rectangulaires. 



Le second cas rentre dans le premier: supposons donc 

 (A) rectiligne ; il est visible que (A) est située sur la dévelop- 

 pable, lieu des tangentes à une ligne de courbure normale 

 aux sphères qui ont leurs centres sur (A) ; cette développable 

 est donc plane. Donc aussi, toutes les lignes de courbure 

 d'un système sont planes ; comme elles sont aussi sphériques, 

 la surface est une enveloppe de sphères ; de plus, toutes les 

 sphères enveloppées sont orthogonales aux sphères qui ont 

 leurs centres sur (A) et qui coupent (S) suivant les lignes de 

 courbure du second système; il résulte immédiatement 

 qu'elles passent toutes par deux points de (A) symétriques 

 par rapport au plan de (B) : 



Dans le cas où (B) est aussi rectiligne, la surface (S) a ses 

 deux systèmes circulaires et l'on peut dire avec M. Bonnet : 



Les surfaces dont les deux systèmes de lignes de courbure 

 sont composés de cercles géodésiques, sont des enveloppes de 

 sphères passant par deux points fixes. 



