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de centre 0, fait avec la tangente à (0) en 0; on trouve 

 facilement l'équation 



\smt r] 



di 



sin i 



dont l'intégrale donnerait toutes les trajectoires orthogonales. 

 On peut faire varier R et r considérés comme fonction de 

 6, pourvu que leur rapport reste constant, sans changer 

 rintégrale. Dès lors, prenons une courbe arbitraire (0') et 

 faisons correspondre à chaque point de (0) le point 0' de 

 (0') oti la tangente est parallèle à celle de (0) en 0; soit 

 R' le rayon de courbure de (0') décrivons de chaque point 

 0' de (0') comme centre un cercle de rayon r défini par 

 l'équation 



r' r 



R^ ~ IT' 



Il est clair que les trajectoires orthogonales des cercles de 

 la seconde série correspondent par parallélisme de leurs élé- 

 ments à celles des cercles de la, première série. 



De ceci résulte que la connaissance des trajectoires ortho- 

 gonales d'une suite de cercles conduit à celle d'une famille 

 de surfaces avec deux fonctions arbitraires, surfaces sur les- 

 quelles on coimaît le deuxième système de lignes de cour- 

 bures, le premier se composant de cercles. 



Il résulte aussi de la communication que j'ai faite à la 

 Société, que l'on connaît les trajectoires orthogonales de 

 cercles orthogonaux à un cercle lixe; c'est-à-dire que nous 

 pouvons donner l'équation contenant trois fonctions arbi- 

 traires de surfaces enveloppes de sphères sur lesquelles nous 

 connaissons l'intégrale du système de lignes de courbure non 

 circulaires. 



Je terminerai cette communication par une démonstration 

 très-simple d'une proposition donnée par M. 0. Bonnet dans 

 son mémoire sur les surfaces applicables l'une sur l'autre. 



M. Bonnet se propose la recherche de toutes les surfaces 

 sur lesquelles les lignes de courbure sont des cercles géo- 

 désiques. 



