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» de laquelle aucun point de l'espace ne peut faire partie du 

 » lieu. » 



Ces propositions supposent, il est vrai, implicitement que 

 les éléments d'une figure sont susceptibles d'une mesure 

 invariable qui n'est délîuie que plus tard ; mais il est clair 

 que les objections qu'on aurait à faire à un tel choix 

 d'axiomes, s'il s'agissait de les prendre pour base d'un traité 

 de géométrie, sont étrangères à la question actuelle, si les 

 diverses mesures géométriques peuvent être définies après 

 coup, comme j'ai soin de montrer qu'elles peuvent l'être, en 

 effet, sans le secours de la théorie des parallèles. 



Indiquant alors comment par l'emploi des formules un 

 raisonnement quelconque peut être dégagé de la considéra- 

 tion de chacune des trois propositions énoncées plus haut, 

 j'arrive enfin à établir comme une conséquence forcée la 

 nécessité d'un postulatum. 



Ce serait donc en vain qu'on tenterait de s'affranchir de 

 cette nécessité ; de telles recherches ne pourraient aboutir 

 qu'à modifier la forme de l'axiome XI d'Euclide, et n'ajou-. 

 teraient rien d'ailleurs à l'évidence de cet axiome. Si l'on 

 se reporte, par exemple, à la démonstration que M. Carton 

 a proposée récemment, et que je prends telle qu'elle est ex- 

 posée dans le compte rendu de la séance du 20 décembre 

 dernier, à l'Académie des sciences, on y reconnaît que 

 l'auteur admet tacitement une proposition qui peut être 

 résumée ainsi: 



Soit une bande rectangulaire indéfinie formée par deux 

 droites K X, P Y perpendiculaires aux extrémités d'une troi- 

 sième P K, et soit dans l'intérieur de cette bande une suite 

 indéfinie de points G^, C^... C^, Cn+i également espacés et 

 situés tous à une même distance de P Y, moindre que P K ; 

 sur la droite qui joint deux points, consécutifs quelconques 

 Cn, Cn+1 de cette série, on peut toujours, quelque éloignés que 

 ces points soient de la perpendiculaire commune P K, cons- 

 truire deux triangles ayant leurs sommets l'un sur P Y, 

 l'autre sur K X, et situés de part et d'autre du côté com- 

 mun Cn Cn+i. 



Cette proposition suppose que la droite CnCn-f, ne peut ja- 

 mais s'étendre indéfiniment dans les deux sens en restant 

 constamment à l'intérieur de la bande rectangulaire fermée 



