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lopperaents qui manquent aux deux écrits de Lobatscliewsky 

 et de Bolyai publiés en France dans ces dernières années 

 [Études géométriques sur la théorie des parallèles et la Science 

 absolue de l'espace), développements que je me suis attaché 

 à présenter d'une manière complète. 



Pour atteindre le but que j'avais en vue, j'ai pensé que des 

 formules générales de géométrie analytique seraient d'un em- 

 ploi plus avantageux que les formules de trigonométrie. 

 Cette considération a déterminé la marche que j'ai suivie. 



Après avoir établi, sans recourir au postulatum, les prin- 

 cipes qui résument la géométrie des figures infinitésimales, 

 après avoir fait choix des systèmes de cordonnées qu'il m'a 

 paru préférable d'adopter (systèmes qui, quoique définis diffé- 

 remment, deviennent lorsqu'on admet la théorie des paral- 

 lèles, mais seulement dans ce cas, identiques avec les sys- 

 tèmes de coordonnées rectangulaires), je donne les formules 

 qui permettent de mettre en équations toute ligne ou toute 

 surface défîni'e, et j'indique comment on pourra en calculer 

 les divers éléments. Une lois ces formules fondamentales 

 établies, il reste à faire voir que tout raisonnement tendant 

 à démontrer une proposition quelconque de géométrie, pourra, 

 tant qu'il n'invoquera pas le postulatum d'Euclide ou l'axio- 

 me par lequel on le remplacerait, être reproduit directement 

 sur les formules, en suivant une marche identique, mais 

 dégagée de toute considération empruntée aux axiomes de 

 la géométrie. Passant ces axiomes en revue, je reconnais 

 qu'ils peuvent tous être tirés des trois propositions suivantes 

 que je puis par conséquent leur substituer : 



« Une figure est susceptible de se déplacer dans l'espace 

 » d'une infinité de manières, par exemple par une rotation 

 » autour de deux points fixes, en restant identi(|ue à elle- 

 )) même, c'est-à-dire en conservant les mêmes relations, entre 

 » tous ses éléments, dont la mesure reste invariable . » 



« Par deux points on ne peut faire passer qu'une ligne 

 droite » (je suppose ici, comme on a coutume de le faire 

 dans les traités élément lires , la ligne droite définie par sa 

 propriété d'être le plus court chemin entre deux quelconques 

 de ses points). 



« Le lieu des points situés à des distances constantes de 

 » deux points fixes est une courbe fermée unique en dehors 



