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latum. Ces relations (celles de la trigonométrie rectiligne du 

 moins) s'expriment en fonction d'une certaine longueur 

 absolue qui reste encore indéterminée, mais qu'on reconnaît 

 devoir être infinie dès qu'on s'appuie sur !a théorie des pa- 

 rallèles. — Après les avoirs établies, et sans autre dévelop- 

 pement, Lobatscliewsky conclut à l'impossibilité dans laquelle 

 on se trouve de démontrer l'axiome XI d'Euclide (postula- 

 tum) sans lui en substituer un autre. Bolyai reconnaît 

 qu'il reste quelque chose à faire avant de tirer cette con- 

 clusion. 



îl est bien vrai en effet que, quelle que soit une relation 

 géométrique qu'on se propose de déterminer d'après telles ou 

 telles données, on pourra la déduire des formules de trigono- 

 métrie, en faisant, s'il est nécessaire, un usage convenable 

 des méthodes infinitésimales; et l'expression qu'on obtiendra 

 ainsi, tirée de formules dans lesquelles un paramètre reste 

 inconnu, ne pourra jamais, combinée de quelque façon 

 qu'on voudra avec les formules mêmes qui l'ont engendrée, 

 conduire à la détermination de ce paramètre ; mais on ne 

 voit pas encore avec une évidence suffisante que la même 

 relation déterminée d'une autre manière, en faisant des 

 axiomes particuliers à la géométrie un autre usage que celui 

 qui en a été fait pour établir les formules ou pour les ren- 

 dre applicables à la question proposée, ne pourra pas se 

 présenter sous une seconde forme dont la concordance avec 

 la première exige que le paramètre soit infini. Après avoir 

 posé les principes d'après lesquels on pourra calculer les 

 éléments de toute figure, il reste donc à faire voir que toute 

 démonstration tirée d'une figure quelconque, quelque usage 

 qu'il y soit fait des axiomes de la géométrie, dont j'excepte le 

 postulatum, pourra toujours être reproduite sur les formules 

 affranchie de ces axiomes, tout en conservant une forme sem- 

 blabî • et aboutissant à des résultats identiques. S'il en est 

 ainsi, il est clair qu'une conclusion qui résulte uniquement 

 de certaines combinaisons de formules compatibles entre elles, 

 et dans lesquelles un paramètre resté inconnu ne pourra 

 jamais servir à déterminer ce paramètre, ni par conséquent à 

 établir la théorie des parallèles, dont la valeur infinie du 

 paramètre serait une conséquence. 



Ce qui précède suffit pour indiquer quels sont les déve- 



