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NOTA. '— Selon M. Spottiswoode, on pourrait mener en 

 chaque point d'une surface dix coniques sur-osculatrices, 

 soit toutes réelles, soit imaginaires par couples (voir Comptes 

 rendus de V Académie des sciences, séance du 21 mars 1870.) 

 Mais ce savant géomètre n'ayant pas défini le système de 

 sections qui offrent ce nombre de dix sections sur-oscula- 

 trices, l'énoncé de son théorème est certainement incomplet. 



Sur les courbes que Von peut tracer sur les surfaces algébriques 

 par M. Laguerre. 



1. Soit (M) une courbe quelconque tracée sur une surface 

 S; concevons, qu'en chaque point M de cette surface, on 

 porte sur la normale à partir du point M une longueur N, 

 fonction de la distance de ce point à un point fixe de la 

 courbe pris pour origine. Soient M et M' deux points infini- 

 ment voisins situés sur (M) et N, N' les longueurs portées 

 sur les normales en' ces points, la somme algébrique des 

 projections de ces longueurs sur la corde N N' est en général 

 du second ordre; mais, quand elle est d'un ordre supérieur, 

 elle est du quatrième ordre, comme je l'ai fait voir dans la 

 dernière communication que j'ai eu l'honneuf de faire à la 

 Société. 



Le long de la courbe (M), on peut donc concevoir que 

 l'on porte sur chacune des normales, à partir de son pied, 

 une longueur N définie par la condition que la somme des 

 projections de deux de ces longueurs, correspondant à deux 

 points infiniment voisins sur la corde qui joint ces points, 

 soit d'un ordre supérieur au second, soit, par conséquent, 

 au moins du quatrième ordre; ou, si l'on veut encore em- 

 ployer un langage moins précis, mais plus si:nple, que cette 

 somme soit nulle. 



Cette longueur N qui doit être ainsi portée sur la nor- 

 male, en chaque point de la courbe, je la désignerai^ pour 

 abréger, sous le nom de segment normal, au point consi- 

 déré. Elle n'est évidemment définie qu'à un facteur constant 

 près; et on peut l'obtenir au moyen de l'équation différen- 

 tielle suivante : 



