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harmoniques du puint m, relativement aux divers points où 

 la tangente coupe la surface, est une courbe de troisième 

 ordre ayant pour point double le point m; si l'on imagine 

 racé sur la surface un plan quelconque des systèmes tri- 

 ples de courbes qui résultent de l'intégration de l'équation 

 (3), les tangentes aux trois courbes qui se croisent au point 

 m rencontrent la courbe de troisième ordre que j'ai définie 

 en trois points situés en ligne droite. » 



En particulier, l'on peut dire que, sur une surface de troi- 

 sième ordre, les tangentes, en un point quelconque, aux 

 trois courbes qui s'y croisent, rencontrent la surface en trois 

 points situés en ligne droite. 



6. Je signalerai ici quelques-uns des cas les plus intéres- 

 sants que l'on peut étudier. 



En premier lieu se présentent les courbes pour lesquelles 

 on a K = ; l'on voit alors que N = W, c'est donc une 

 fonction de point. 



En second lieu, on peut considérer les courbes par les- 

 quelles on a 



N = constante. 



Ces courbes, il est facile de le voir^ sont celles déjà étu- 

 diées par M. de la Gournerie, et le long desquelles la sec- 

 tion normale est surosculée par un cercle. 



De ce que j'ai dit ci-dessus, il résulte en particulier que, 

 sur une surface de troisième ordre, si l'on mène, par un 

 point donné, les tangentes aux sections normales suroscu- 

 lées par des cercles, les trois tangentes ainsi obtenues ren- 

 contrent la surface en trois points situés en ligne droite. 



7. D'après la formule (2), l'on voit que pour les surfaces 

 de second ordre, comme K est toujours nul, N est une 

 fonction de point; de là résulte l'intégration des lignes géo- 

 désiques de ces surfaces et la plupart de leurs propriétés 

 connues. Pour les surfaces de degré supérieur, la formule 

 montre que N ne peut être fonction de point. 



De cette simplification remarquable qui a lieu pour les 

 surfaces du second ordre, découlent quelques conséquences 

 dignes d'intérêt. 



Le long d'une ligne géodésique, la normale à la surface 

 se confondant avec la normale principale à la courbe, il en 



