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rai, d'inscrire dans l'une d'elles un polygone d'un nombre de 

 côtés donné circonscrit à l'autre, et quand il existe un po- 

 lygone satisfaisant à ces conditions, il y en a une infinité 

 jouissant de la même propriété. 



Ce théorème, énoncé et démontré dans le Traité des 'pro- 

 priétés projectives, était de nature à exciter au plus haut de- 

 gré l'attention des géomètres ; Jacobi vint augmenter 

 encore l'intérêt qu'il présentait et en donna une démonstra- 

 tion nouvelle fondée sur la théorie des fonctions ellip- 

 tiques. 



On sait que deux coniques peuvent être transformées 

 homographiquement soit en deux cercles, soit en deux 

 coniques homofocales. Il suffisait donc, pour démontrer le 

 théorème général de Poncelet, de considérer l'un ou l'au- 

 tre de ces cas particuliers. Jacobi avait étudié le système 

 de deux cercles. M. Chasles, sans connaître les travaux de 

 Jacobi, examina le système, non moins important, formé de 

 deux coniques homofocales. Parmi les théorèmes obtenus 

 par M. Chasles, on remarque les deux suivants : 



Si l'on cherche le polygone de périmètre maximum ins- 

 crit dans une ellipse, on trouve que ce polygone n'est pas 

 déterminé unique. Il y a une infinité de polygones, tous 

 isopérimètres et tels que leur périmètre commun soit plus 

 grand que celui de tout autre polygone inscrit. Les côtés 

 de ces polygones sont tous tangents à une deuxième ellipse 

 homofocale à la première. 



De même, parmi les polygones circonscrits d'un même 

 nombre de côtés, il y en a une infinité, ayant même péri- 

 mètre, et tels que leur périmètre commun soit un minimum. 

 Ces polygones sont tous inscrits dans une deuxième ellipse, 

 homofocale à la première. 



Ces théorèmes présentaient, sous une forme nouvelle, ce 

 qu'il y a de singulier et de paradoxal dans les théorèmes de 

 Poncelet. Etant donnée une courbe, en générai, le polygone 

 maximum inscrit^ ou maximum circonscrit est unique. Cela 

 n'a pas lieu pour l'ellipse. 



Je me suis proposé d'étendre les théorèmes qui précèdent 

 aux surfaces du second degré et j'ai traité pour l'ellipsoïde 

 les questions de maximum déjà résolues par M. Chasles 

 dans le cas de l'ellipse. L'étude de cette question m'a con- 



